Chứng minh $(1924^{2003^{2004}}+1920) \vdots 124$ (dùng đồng dư càng tốt)

Để chứng minh rằng \(1924^{2003^{2004}} + 1920\) chia hết cho 124, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đồng dư. Bước 1: Xác định đồng dư của \(1924\) modulo 124. \[ 1924 \div 124 = 15 \text{ dư } 4 \] Do đó, \[ 1924 \equiv 4 \pmod{124} \] Bước 2: Thay \(1924\) bằng \(4\) trong biểu thức \(1924^{2003^{2004}} + 1920\). \[ 1924^{2003^{2004}} + 1920 \equiv 4^{2003^{2004}} + 1920 \pmod{124} \] Bước 3: Xác định đồng dư của \(1920\) modulo 124. \[ 1920 \div 124 = 15 \text{ dư } 60 \] Do đó, \[ 1920 \equiv 60 \pmod{124} \] Bước 4: Kết hợp các kết quả trên. \[ 4^{2003^{2004}} + 1920 \equiv 4^{2003^{2004}} + 60 \pmod{124} \] Bước 5: Xác định đồng dư của \(4^{2003^{2004}}\) modulo 124. Ta cần tìm chu kỳ của \(4^n \mod 124\). Ta thấy: \[ 4^1 \equiv 4 \pmod{124} \] \[ 4^2 \equiv 16 \pmod{124} \] \[ 4^3 \equiv 64 \pmod{124} \] \[ 4^4 \equiv 256 \equiv 12 \pmod{124} \] \[ 4^5 \equiv 48 \pmod{124} \] \[ 4^6 \equiv 192 \equiv 68 \pmod{124} \] \[ 4^7 \equiv 272 \equiv 24 \pmod{124} \] \[ 4^8 \equiv 96 \pmod{124} \] \[ 4^9 \equiv 384 \equiv 12 \pmod{124} \] Chúng ta nhận thấy rằng \(4^4 \equiv 12 \pmod{124}\). Do đó, \(4^{2003^{2004}}\) sẽ có dạng \(4^{4k}\) vì \(2003^{2004}\) là số lẻ và chia hết cho 4. \[ 4^{2003^{2004}} \equiv 12 \pmod{124} \] Bước 6: Kết hợp lại: \[ 4^{2003^{2004}} + 60 \equiv 12 + 60 \equiv 72 \pmod{124} \] Như vậy, \(1924^{2003^{2004}} + 1920\) không chia hết cho 124. Đáp số: \(1924^{2003^{2004}} + 1920\) không chia hết cho 124.