Cho đường tròn tâm O có dây AB. Bán kính OM vuông góc với dây AB (M thuộc cung
nhỏ AB). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt tỉa OM ở C. Chứng minh: AM là tia phân giác BẠC.

Question

Nguyễn Hoàng Minhhg1 · Accepted Answer

Xét (O) có:
+) Bán kính OM và dây AB, $\displaystyle OM\bot AB$
$\displaystyle \Longrightarrow $AB là đường trung trực của OM
$\displaystyle \Longrightarrow AM=MB$
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle AMB$ cân tại M
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{MAB} =\widehat{MBA}$
+) $\displaystyle \widehat{MBA} =\widehat{MAC}$ (2 góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung)
Do đó $\displaystyle \widehat{MAB} =\widehat{MAC}$
$\displaystyle \Longrightarrow AM$ là phân giác của $\displaystyle \widehat{BAC}$

Timi · Answer

Để chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các góc liên quan:
   - Vì OM là bán kính vuông góc với dây AB, nên M là trung điểm của AB. Do đó, AM = MB.
   - Tiếp tuyến tại A vuông góc với bán kính OA, tức là góc OAC = 90°.

2. Chứng minh tam giác OAM cân:
   - Vì OM là bán kính và vuông góc với AB tại M, nên tam giác OAM là tam giác vuông tại M.
   - Vì OA = OM (cả hai đều là bán kính của đường tròn), nên tam giác OAM là tam giác cân tại O.

3. Tính góc OMA:
   - Trong tam giác OAM cân tại O, các góc ở đáy bằng nhau, tức là góc OMA = góc OAM.

4. Chứng minh góc BAM = góc CAM:
   - Vì tiếp tuyến tại A vuông góc với OA, nên góc OAC = 90°.
   - Góc BAM là góc giữa dây AB và tiếp tuyến tại A, tức là góc BAM = 90° - góc OAM.
   - Góc CAM là góc giữa tiếp tuyến tại A và OM, tức là góc CAM = 90° - góc OMA.
   - Vì góc OMA = góc OAM (do tam giác OAM cân), nên góc BAM = góc CAM.

5. Kết luận:
   - Vì góc BAM = góc CAM, nên AM là tia phân giác của góc BAC.

Vậy, ta đã chứng minh được AM là tia phân giác của góc BAC.

Cho đường tròn tâm O có dây AB. Bán kính OM vuông góc với dây AB (M thuộc cung nhỏ AB). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt tỉa OM ở C. Chứng minh: AM là tia phân giác BẠC.