Một rạp chiếu phim có 120 ghế, giá vé hiện tại là 100 nghìn đồng mỗi vé. Với giá vé này, tất cả các ghế đều được bán hết cho mỗi suất chiếu. Ban quản lý rạp phim đang xem xét việc tăng giá vé để tối ưu...

Trần Vũ LâmBài toán yêu cầu chúng ta tìm mức giá vé mới để rạp phim đạt doanh thu lớn nhất.

Chúng ta sẽ đi từng bước để phân tích bài toán:

Bước 1: Xác định các yếu tố ban đầu và mối quan hệ giữa chúng.

• Số ghế ban đầu: 120 ghế.
• Giá vé ban đầu: 100.000 đồng/vé.
• Doanh thu ban đầu: Với giá này, tất cả 120 ghế đều bán hết. Vậy doanh thu ban đầu là: 120 ghế * 100.000 đồng/ghế = 12.000.000 đồng.
• Mối quan hệ khi tăng giá:
• Cứ mỗi lần tăng giá thêm 5.000 đồng, số ghế bị bỏ trống tăng thêm 4 ghế.

Bước 2: Xây dựng biểu thức tính doanh thu theo giá vé mới.

Gọi $x$ là số lần rạp phim tăng giá vé.

• Giá vé mới: $100.000 + 5.000x$ (đồng).
• Số ghế bán được: Ban đầu có 120 ghế. Mỗi lần tăng giá, 4 ghế bị bỏ trống. Vậy số ghế bán được sẽ là: $120 - 4x$ (ghế).
• Doanh thu (R): Doanh thu sẽ bằng (Giá vé mới) nhân với (Số ghế bán được). $R(x) = (100.000 + 5.000x) * (120 - 4x)$

Bước 3: Tìm giá trị của $x$ để doanh thu đạt lớn nhất.

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm doanh thu $R(x)$, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phân tích hàm số bậc hai.

• Mở rộng biểu thức doanh thu: $R(x) = 100.000 * 120 - 100.000 * 4x + 5.000x * 120 - 5.000x * 4x$ $R(x) = 12.000.000 - 400.000x + 600.000x - 20.000x^2$ $R(x) = -20.000x^2 + 200.000x + 12.000.000$

Đây là một hàm số bậc hai có dạng $ax^2 + bx + c$ với $a = -20.000$, $b = 200.000$, $c = 12.000.000$. Vì hệ số $a$ âm, parabol sẽ có đỉnh cao nhất, tương ứng với giá trị lớn nhất của hàm số.

• Tìm đỉnh của parabol: Hoành độ đỉnh $x$ được tính bằng công thức $x = -b / (2a)$. $x = -200.000 / (2 * -20.000)$ $x = -200.000 / -40.000$ $x = 5$

Điều này có nghĩa là rạp phim nên tăng giá vé 5 lần để đạt doanh thu lớn nhất.

Bước 4: Tính giá vé mới và doanh thu lớn nhất.

• Giá vé mới:
• Giá vé mới = 100.000 + 5.000 * 5 = 100.000 + 25.000 = 125.000 (đồng).
• Số ghế bán được:
• Số ghế bán được = 120 - 4 * 5 = 120 - 20 = 100 (ghế).
• Doanh thu lớn nhất:
• Doanh thu lớn nhất = 125.000 đồng/vé * 100 ghế = 12.500.000 (đồng).

Kết luận:

Mức giá vé mới để rạp phim đạt doanh thu lớn nhất là 125.000 đồng.