Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,AB>AC,hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H a)Chứng minh rằng bốn điểm B,E,D,C cùng thuộc một đường tròn.Hãy chỉ rõ tâm O của đường tròn này b)Chứng minh AB.AE=AC.AD c)G...

a) Ta có: - $\angle BED = \angle BCD = 90^\circ$ (vì BD và CE là đường cao) - Do đó, bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn (giao của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và BEC). - Tâm O của đường tròn này là trung điểm của đoạn thẳng BC. b) Ta có: - $\angle ABE = \angle ACD$ (cùng bù với $\angle ABC$) - $\angle BAE = \angle CAD$ (góc chung) - Do đó, tam giác ABE và tam giác ACD đồng dạng (góc-góc) - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AD}$ - Nhân cả hai vế với AC và AD ta được: $AB \cdot AE = AC \cdot AD$ c) Ta có: - $\angle DBC = 30^\circ$, do đó $\angle BDC = 60^\circ$ (vì tổng các góc trong tam giác BDC là 180°) - Ta có $\angle BOC = 2 \times \angle BDC = 120^\circ$ (góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung) - Xét tam giác BOC, ta có $\angle OBC = \angle OCB = 30^\circ$ (vì OB = OC = R) - Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = R, ta có BM = 2R (vì CM = R và M nằm trên tia đối của CB) - Xét tam giác BDM, ta có $\angle DBM = 90^\circ$ (vì $\angle DBC = 30^\circ$ và BM nằm trên tia đối của CB) - Do đó, DM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc) - Ta có $DM^2 = BM^2 - BD^2 = (2R)^2 - R^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2$ Đáp số: DM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O và $DM^2 = 3R^2$.