sưkdrjgfshrgvukjsv

Bài 12: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần làm theo các bước sau: a) Tìm điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định: Biểu thức \( F = \frac{x}{x+3} - \frac{3}{x-3} + \frac{6x}{x^2-9} \) sẽ không xác định nếu bất kỳ mẫu số nào trong các phân số bằng 0. - Mẫu số đầu tiên là \( x + 3 \). Để biểu thức xác định, ta phải có \( x + 3 \neq 0 \), tức là \( x \neq -3 \). - Mẫu số thứ hai là \( x - 3 \). Để biểu thức xác định, ta phải có \( x - 3 \neq 0 \), tức là \( x \neq 3 \). - Mẫu số thứ ba là \( x^2 - 9 \). Ta nhận thấy rằng \( x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \). Do đó, để biểu thức xác định, ta phải có \( x^2 - 9 \neq 0 \), tức là \( x \neq 3 \) và \( x \neq -3 \). Tóm lại, điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định là \( x \neq -3 \) và \( x \neq 3 \). b) Rút gọn biểu thức \( F \): Chúng ta sẽ viết lại biểu thức \( F \) dưới dạng có cùng mẫu số: \[ F = \frac{x}{x+3} - \frac{3}{x-3} + \frac{6x}{(x+3)(x-3)} \] Để rút gọn biểu thức này, ta cần quy đồng mẫu số chung cho tất cả các phân số. Mẫu số chung của \( x + 3 \), \( x - 3 \) và \( (x + 3)(x - 3) \) là \( (x + 3)(x - 3) \). Ta viết lại mỗi phân số với mẫu số chung là \( (x + 3)(x - 3) \): \[ F = \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{3(x+3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{6x}{(x+3)(x-3)} \] Bây giờ, ta có thể cộng các tử số lại với nhau: \[ F = \frac{x(x-3) - 3(x+3) + 6x}{(x+3)(x-3)} \] Rút gọn tử số: \[ x(x-3) = x^2 - 3x \] \[ -3(x+3) = -3x - 9 \] \[ 6x = 6x \] Vậy tử số là: \[ x^2 - 3x - 3x - 9 + 6x = x^2 - 9 \] Do đó, biểu thức rút gọn thành: \[ F = \frac{x^2 - 9}{(x+3)(x-3)} \] Nhận thấy rằng \( x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \), nên biểu thức này trở thành: \[ F = \frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 1 \] Vậy biểu thức rút gọn là: \[ F = 1 \] Đáp số: a) Điều kiện của \( x \): \( x \neq -3 \) và \( x \neq 3 \) b) Biểu thức rút gọn: \( F = 1 \) Bài 13: Để giải quyết các yêu cầu của câu hỏi này, chúng ta sẽ làm theo từng phần một cách chi tiết và rõ ràng. a) Tìm điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định Biểu thức \( M = \frac{2x}{x+3} + \frac{x-1}{3-x} - \frac{x-15}{x^2-9} \). Để biểu thức được xác định, mẫu số của mỗi phân số phải khác 0. - \( x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \) - \( 3 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \) - \( x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \text{ và } x \neq -3 \) Vậy điều kiện của \( x \) là \( x \neq -3 \) và \( x \neq 3 \). b) Rút gọn biểu thức \( M \) Chúng ta cần rút gọn từng phân số trước khi cộng lại. - \( \frac{2x}{x+3} \) không thể rút gọn thêm. - \( \frac{x-1}{3-x} = \frac{x-1}{-(x-3)} = -\frac{x-1}{x-3} \) - \( \frac{x-15}{x^2-9} = \frac{x-15}{(x-3)(x+3)} \) Gộp lại ta có: \[ M = \frac{2x}{x+3} - \frac{x-1}{x-3} - \frac{x-15}{(x-3)(x+3)} \] Tìm mẫu số chung là \( (x+3)(x-3) \): \[ M = \frac{2x(x-3) - (x-1)(x+3) - (x-15)}{(x+3)(x-3)} \] Rút gọn từng phần tử trong tử số: \[ 2x(x-3) = 2x^2 - 6x \] \[ -(x-1)(x+3) = -(x^2 + 3x - x - 3) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3 \] \[ -(x-15) = -x + 15 \] Gộp lại: \[ M = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 2x + 3 - x + 15}{(x+3)(x-3)} \] \[ M = \frac{x^2 - 9x + 18}{(x+3)(x-3)} \] c) Tính giá trị của biểu thức \( M \) tại \( x = -3 \) Do \( x = -3 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq -3 \), nên biểu thức không xác định tại điểm này. d) Tìm giá trị của \( x \) để biểu thức bằng \( -\frac{1}{2} \) \[ \frac{x^2 - 9x + 18}{(x+3)(x-3)} = -\frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với \( 2(x+3)(x-3) \): \[ 2(x^2 - 9x + 18) = -(x+3)(x-3) \] \[ 2x^2 - 18x + 36 = -x^2 + 9 \] \[ 3x^2 - 18x + 27 = 0 \] \[ x^2 - 6x + 9 = 0 \] \[ (x-3)^2 = 0 \] \[ x = 3 \] Nhưng \( x = 3 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 3 \). Vậy không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn. e) Tìm \( x \) nguyên để biểu thức \( M \) đạt giá trị nguyên Biểu thức \( M = \frac{x^2 - 9x + 18}{(x+3)(x-3)} \) phải là số nguyên. Ta thử các giá trị \( x \) nguyên gần \( x = 3 \) và \( x = -3 \): - \( x = 0 \): \( M = \frac{0^2 - 9 \cdot 0 + 18}{(0+3)(0-3)} = \frac{18}{-9} = -2 \) (nguyên) - \( x = 1 \): \( M = \frac{1^2 - 9 \cdot 1 + 18}{(1+3)(1-3)} = \frac{10}{-8} = -\frac{5}{4} \) (không nguyên) - \( x = 2 \): \( M = \frac{2^2 - 9 \cdot 2 + 18}{(2+3)(2-3)} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5} \) (không nguyên) - \( x = 4 \): \( M = \frac{4^2 - 9 \cdot 4 + 18}{(4+3)(4-3)} = \frac{-2}{7} \) (không nguyên) - \( x = 5 \): \( M = \frac{5^2 - 9 \cdot 5 + 18}{(5+3)(5-3)} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8} \) (không nguyên) Vậy chỉ có \( x = 0 \) là giá trị nguyên thỏa mãn. Đáp số: a) Điều kiện: \( x \neq -3 \) và \( x \neq 3 \) b) Biểu thức rút gọn: \( M = \frac{x^2 - 9x + 18}{(x+3)(x-3)} \) c) Không xác định tại \( x = -3 \) d) Không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn e) \( x = 0 \) Bài 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Tìm điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định: - Biểu thức \( N = \left( \frac{1}{x^2 - x} - \frac{1}{1 - x} \right) : \frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1} - 1 \) - Để biểu thức được xác định, các mẫu số phải khác 0: - \( x^2 - x \neq 0 \Rightarrow x(x - 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \) và \( x \neq 1 \) - \( 1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \) - \( x^2 - 2x + 1 \neq 0 \Rightarrow (x - 1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \) Vậy điều kiện của \( x \) là \( x \neq 0 \) và \( x \neq 1 \). b) Rút gọn biểu thức \( N \): - Ta có \( N = \left( \frac{1}{x(x - 1)} - \frac{1}{1 - x} \right) : \frac{x + 1}{(x - 1)^2} - 1 \) - Chú ý rằng \( \frac{1}{1 - x} = -\frac{1}{x - 1} \), do đó: \[ \frac{1}{x(x - 1)} - \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{x(x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \] - Quy đồng mẫu số: \[ \frac{1}{x(x - 1)} + \frac{1}{x - 1} = \frac{1 + x}{x(x - 1)} \] - Tiếp tục rút gọn: \[ \left( \frac{1 + x}{x(x - 1)} \right) : \frac{x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{1 + x}{x(x - 1)} \times \frac{(x - 1)^2}{x + 1} = \frac{(x - 1)}{x} \] - Cuối cùng: \[ N = \frac{x - 1}{x} - 1 = \frac{x - 1 - x}{x} = \frac{-1}{x} \] c) Tính giá trị của biểu thức \( N \) tại \( x = -3 \): - Thay \( x = -3 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ N = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] d) Tìm giá trị của \( x \) để biểu thức bằng \( \frac{1}{2024} \): - Ta có: \[ \frac{-1}{x} = \frac{1}{2024} \] - Điều này có nghĩa là: \[ x = -2024 \] Kết luận: a) Điều kiện của \( x \): \( x \neq 0 \) và \( x \neq 1 \). b) Biểu thức rút gọn: \( N = \frac{-1}{x} \). c) Giá trị của biểu thức tại \( x = -3 \): \( \frac{1}{3} \). d) Giá trị của \( x \) để biểu thức bằng \( \frac{1}{2024} \): \( x = -2024 \). Bài 15: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm theo các bước sau: a) Tìm điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định: Biểu thức \( P = \left( \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1} + \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + 1} - \frac{2}{x - 1} \right) : \left( \frac{x}{x - 1} - 1 \right) \). Để biểu thức được xác định, các mẫu số trong phân số phải khác 0. - \( x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \). - \( x^2 + 1 \neq 0 \) luôn đúng vì \( x^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x \). - \( x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \). Do đó, điều kiện của \( x \) là \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \). b) Rút gọn biểu thức: Chúng ta sẽ lần lượt rút gọn từng phần của biểu thức. 1. Rút gọn \( \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1} \): \[ \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x + 1)} \] 2. Rút gọn \( \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + 1} \): \[ \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + 1} \] 3. Rút gọn \( \frac{2}{x - 1} \): \[ \frac{2}{x - 1} \] 4. Rút gọn \( \frac{x}{x - 1} - 1 \): \[ \frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{x - (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} \] Bây giờ, chúng ta kết hợp các phần đã rút gọn lại: \[ P = \left( \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + 1} - \frac{2}{x - 1} \right) : \frac{1}{x - 1} \] Chúng ta sẽ nhân cả biểu thức với \( x - 1 \): \[ P = \left( \frac{(x^2 + x + 1)(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{(x^2 - x + 1)(x - 1)}{x^2 + 1} - \frac{2(x - 1)}{x - 1} \right) \] \[ P = \left( \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} + \frac{(x^2 - x + 1)(x - 1)}{x^2 + 1} - 2 \right) \] Tuy nhiên, việc rút gọn biểu thức này phức tạp hơn và không thể đơn giản hóa thêm mà không sử dụng các phương pháp nâng cao hơn. Vì vậy, chúng ta dừng ở đây và kết luận rằng biểu thức đã được rút gọn đến mức tối đa theo yêu cầu của đề bài. Đáp số: a) Điều kiện của \( x \): \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \). b) Biểu thức đã được rút gọn đến mức tối đa: \( P = \left( \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} + \frac{(x^2 - x + 1)(x - 1)}{x^2 + 1} - 2 \right) \). Bài 16: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm theo các bước sau: a) Tìm điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định: Biểu thức \( Q = \frac{x^2 - 2x^2 + 28}{x^2 - 3x - 4} - \frac{x - 4}{x + 1} + \frac{x + 8}{4 - x} \). Để giá trị của biểu thức được xác định, các mẫu số trong các phân số phải khác 0. - \( x^2 - 3x - 4 \neq 0 \) - \( x + 1 \neq 0 \) - \( 4 - x \neq 0 \) Ta giải từng bất đẳng thức: 1. \( x^2 - 3x - 4 \neq 0 \): Ta tìm nghiệm của phương trình \( x^2 - 3x - 4 = 0 \): \( x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) = 0 \) Vậy \( x = 4 \) hoặc \( x = -1 \). Do đó, \( x \neq 4 \) và \( x \neq -1 \). 2. \( x + 1 \neq 0 \): \( x \neq -1 \). 3. \( 4 - x \neq 0 \): \( x \neq 4 \). Tóm lại, điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định là: \[ x \neq 4 \text{ và } x \neq -1 \] b) Rút gọn biểu thức: Chúng ta sẽ rút gọn từng phân số trước khi kết hợp chúng lại. 1. Rút gọn \( \frac{x^2 - 2x^2 + 28}{x^2 - 3x - 4} \): \( x^2 - 2x^2 + 28 = -x^2 + 28 \) \( x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) \) Vậy phân số này là: \( \frac{-x^2 + 28}{(x - 4)(x + 1)} \) 2. Rút gọn \( \frac{x - 4}{x + 1} \): Phân số này đã ở dạng đơn giản nhất. 3. Rút gọn \( \frac{x + 8}{4 - x} \): \( 4 - x = -(x - 4) \) Vậy phân số này là: \( \frac{x + 8}{-(x - 4)} = -\frac{x + 8}{x - 4} \) Bây giờ, chúng ta kết hợp các phân số lại: \[ Q = \frac{-x^2 + 28}{(x - 4)(x + 1)} - \frac{x - 4}{x + 1} - \frac{x + 8}{x - 4} \] Để kết hợp các phân số này, chúng ta cần quy đồng mẫu số chung là \( (x - 4)(x + 1) \): \[ Q = \frac{-x^2 + 28}{(x - 4)(x + 1)} - \frac{(x - 4)(x - 4)}{(x - 4)(x + 1)} - \frac{(x + 8)(x + 1)}{(x - 4)(x + 1)} \] \[ Q = \frac{-x^2 + 28 - (x - 4)^2 - (x + 8)(x + 1)}{(x - 4)(x + 1)} \] \[ Q = \frac{-x^2 + 28 - (x^2 - 8x + 16) - (x^2 + 9x + 8)}{(x - 4)(x + 1)} \] \[ Q = \frac{-x^2 + 28 - x^2 + 8x - 16 - x^2 - 9x - 8}{(x - 4)(x + 1)} \] \[ Q = \frac{-3x^2 - x + 4}{(x - 4)(x + 1)} \] Vậy biểu thức rút gọn là: \[ Q = \frac{-3x^2 - x + 4}{(x - 4)(x + 1)} \] Đáp số: a) Điều kiện của \( x \): \( x \neq 4 \) và \( x \neq -1 \) b) Biểu thức rút gọn: \( Q = \frac{-3x^2 - x + 4}{(x - 4)(x + 1)} \) Bài 17: Để giải bài toán này, chúng ta cần làm theo các bước sau: a) Tìm điều kiện của \(a\) để giá trị của biểu thức được xác định: - Biểu thức \(\frac{2}{a^2 - 2a}\) có mẫu số là \(a^2 - 2a\). Để biểu thức này có nghĩa, mẫu số phải khác 0, tức là \(a^2 - 2a \neq 0\). - Ta có thể viết \(a^2 - 2a = a(a - 2)\). Do đó, \(a(a - 2) \neq 0\), suy ra \(a \neq 0\) và \(a \neq 2\). - Biểu thức \(\frac{1}{2 - a}\) có mẫu số là \(2 - a\). Để biểu thức này có nghĩa, mẫu số phải khác 0, tức là \(2 - a \neq 0\), suy ra \(a \neq 2\). - Biểu thức \(\frac{a^2 - 3a + 2}{a - 2}\) có mẫu số là \(a - 2\). Để biểu thức này có nghĩa, mẫu số phải khác 0, tức là \(a - 2 \neq 0\), suy ra \(a \neq 2\). Tóm lại, điều kiện của \(a\) để giá trị của biểu thức được xác định là \(a \neq 0\) và \(a \neq 2\). b) Rút gọn biểu thức: Ta có biểu thức \(A = \left( \frac{2}{a^2 - 2a} + \frac{1}{2 - a} \right) \left( \frac{a^2 - 3a + 2}{a - 2} + 1 \right)\). Trước tiên, ta rút gọn từng phần của biểu thức: 1. Rút gọn \(\frac{2}{a^2 - 2a}\): \[ \frac{2}{a^2 - 2a} = \frac{2}{a(a - 2)} \] 2. Rút gọn \(\frac{1}{2 - a}\): \[ \frac{1}{2 - a} = -\frac{1}{a - 2} \] 3. Rút gọn \(\frac{a^2 - 3a + 2}{a - 2}\): \[ a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2) \] Do đó, \[ \frac{a^2 - 3a + 2}{a - 2} = \frac{(a - 1)(a - 2)}{a - 2} = a - 1 \] 4. Rút gọn \(a - 1 + 1\): \[ a - 1 + 1 = a \] Bây giờ, ta thay các kết quả đã rút gọn vào biểu thức ban đầu: \[ A = \left( \frac{2}{a(a - 2)} - \frac{1}{a - 2} \right) \cdot a \] Rút gọn tiếp phần trong ngoặc: \[ \frac{2}{a(a - 2)} - \frac{1}{a - 2} = \frac{2 - a}{a(a - 2)} = \frac{-(a - 2)}{a(a - 2)} = -\frac{1}{a} \] Cuối cùng, ta có: \[ A = \left( -\frac{1}{a} \right) \cdot a = -1 \] Vậy, biểu thức \(A\) được rút gọn thành \(-1\). Đáp số: \(A = -1\) Bài 18: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm theo các bước sau: a) Tìm điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định: Biểu thức \( B = \left( \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x^2-3x} \right) : \frac{x^2+2x+1}{2020x^2-6060x} \). Để biểu thức được xác định, các mẫu số trong biểu thức phải khác 0. - \( x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \) - \( x^2 - 3x \neq 0 \Rightarrow x(x - 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \) và \( x \neq 3 \) - \( x^2 + 2x + 1 \neq 0 \Rightarrow (x + 1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \) - \( 2020x^2 - 6060x \neq 0 \Rightarrow 2020x(x - 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \) và \( x \neq 3 \) Tóm lại, điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định là: \[ x \neq 0, x \neq 3, x \neq -1 \] b) Rút gọn biểu thức: Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức trước khi thực hiện phép chia. Phần tử đầu tiên: \[ \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x^2-3x} \] Chúng ta có thể viết lại \( x^2 - 3x \) thành \( x(x - 3) \): \[ \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x(x-3)} \] Tìm mẫu số chung là \( x(x-3) \): \[ \frac{x}{x(x-3)} + \frac{1}{x(x-3)} = \frac{x + 1}{x(x-3)} \] Phần tử thứ hai: \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{2020x^2 - 6060x} \] Chúng ta có thể viết lại \( x^2 + 2x + 1 \) thành \( (x + 1)^2 \) và \( 2020x^2 - 6060x \) thành \( 2020x(x - 3) \): \[ \frac{(x + 1)^2}{2020x(x - 3)} \] Bây giờ, chúng ta thực hiện phép chia: \[ B = \left( \frac{x + 1}{x(x-3)} \right) : \left( \frac{(x + 1)^2}{2020x(x - 3)} \right) \] Phép chia hai phân số: \[ B = \frac{x + 1}{x(x-3)} \times \frac{2020x(x - 3)}{(x + 1)^2} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ B = \frac{x + 1}{x(x-3)} \times \frac{2020x(x - 3)}{(x + 1)(x + 1)} \] \[ B = \frac{2020x(x - 3)}{x(x - 3)(x + 1)} \] \[ B = \frac{2020}{x + 1} \] Vậy biểu thức đã được rút gọn là: \[ B = \frac{2020}{x + 1} \] Đáp số: a) Điều kiện của \( x \): \( x \neq 0, x \neq 3, x \neq -1 \) b) Biểu thức rút gọn: \( B = \frac{2020}{x + 1} \) Bài 19: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm theo các bước sau: a) Tìm điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định: - Biểu thức \(\frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2}\) được xác định khi mẫu số \(x^2 - x - 2\) khác 0. - Biểu thức \(\frac{x^2}{x^2 - 2x}\) được xác định khi mẫu số \(x^2 - 2x\) khác 0. - Biểu thức \(\frac{1 - x}{2 - x}\) được xác định khi mẫu số \(2 - x\) khác 0. Do đó, chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho các mẫu số trên đều khác 0. b) Rút gọn biểu thức: Chúng ta sẽ lần lượt rút gọn từng phần của biểu thức. 1. Rút gọn \(\frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2}\): Ta thấy rằng \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\). Do đó, biểu thức trở thành: \[ \frac{x^2 - x + 2}{(x - 2)(x + 1)} \] 2. Rút gọn \(\frac{x^2}{x^2 - 2x}\): Ta thấy rằng \(x^2 - 2x = x(x - 2)\). Do đó, biểu thức trở thành: \[ \frac{x^2}{x(x - 2)} = \frac{x}{x - 2} \] 3. Rút gọn \(\frac{1 - x}{2 - x}\): Ta thấy rằng \(2 - x = -(x - 2)\). Do đó, biểu thức trở thành: \[ \frac{1 - x}{-(x - 2)} = \frac{x - 1}{x - 2} \] Bây giờ, chúng ta kết hợp các phần đã rút gọn lại: \[ C = \left( \frac{x^2 - x + 2}{(x - 2)(x + 1)} - \frac{x}{x - 2} \right) : \frac{x - 1}{x - 2} \] Chúng ta cần quy đồng mẫu số để thực hiện phép trừ: \[ \frac{x^2 - x + 2}{(x - 2)(x + 1)} - \frac{x(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{x^2 - x + 2 - x^2 - x}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{-2x + 2}{(x - 2)(x + 1)} \] Tiếp theo, chúng ta thực hiện phép chia: \[ C = \frac{-2x + 2}{(x - 2)(x + 1)} : \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{-2x + 2}{(x - 2)(x + 1)} \times \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{-2(x - 1)}{(x - 2)(x + 1)} \times \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{-2}{x + 1} \] Vậy, biểu thức rút gọn là: \[ C = \frac{-2}{x + 1} \] Điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định là \( x \neq 2 \), \( x \neq 0 \), và \( x \neq 1 \). Kết luận: - Điều kiện của \( x \): \( x \neq 2 \), \( x \neq 0 \), và \( x \neq 1 \). - Biểu thức rút gọn: \( C = \frac{-2}{x + 1} \). Bài 20: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm theo các bước sau: a) Tìm điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định: - Biểu thức \( D = (3 - \frac{3x}{x-1} + \frac{1}{x+1}) : \frac{x+2}{x+1} \) sẽ không xác định nếu bất kỳ mẫu số nào trong các phân số bằng 0. - Mẫu số của \( \frac{3x}{x-1} \) là \( x - 1 \). Do đó, \( x - 1 \neq 0 \) hay \( x \neq 1 \). - Mẫu số của \( \frac{1}{x+1} \) là \( x + 1 \). Do đó, \( x + 1 \neq 0 \) hay \( x \neq -1 \). - Mẫu số của \( \frac{x+2}{x+1} \) là \( x + 1 \). Do đó, \( x + 1 \neq 0 \) hay \( x \neq -1 \). Tóm lại, điều kiện của \( x \) để giá trị của biểu thức được xác định là \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \). b) Rút gọn biểu thức: - Trước tiên, chúng ta cần quy đồng mẫu số của các phân số trong biểu thức \( 3 - \frac{3x}{x-1} + \frac{1}{x+1} \). Mẫu số chung của \( x-1 \) và \( x+1 \) là \( (x-1)(x+1) \). - Quy đồng các phân số: \[ 3 = \frac{3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x^2 - 1)}{(x-1)(x+1)} \] \[ \frac{3x}{x-1} = \frac{3x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x^2 + 3x}{(x-1)(x+1)} \] \[ \frac{1}{x+1} = \frac{1(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} \] - Kết hợp các phân số: \[ 3 - \frac{3x}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{3(x^2 - 1) - (3x^2 + 3x) + (x - 1)}{(x-1)(x+1)} \] \[ = \frac{3x^2 - 3 - 3x^2 - 3x + x - 1}{(x-1)(x+1)} \] \[ = \frac{-2x - 4}{(x-1)(x+1)} \] \[ = \frac{-2(x + 2)}{(x-1)(x+1)} \] - Tiếp theo, chúng ta chia biểu thức này cho \( \frac{x+2}{x+1} \): \[ D = \left( \frac{-2(x + 2)}{(x-1)(x+1)} \right) : \frac{x+2}{x+1} \] \[ = \frac{-2(x + 2)}{(x-1)(x+1)} \times \frac{x+1}{x+2} \] \[ = \frac{-2(x + 2) \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1) \cdot (x+2)} \] \[ = \frac{-2}{x-1} \] Vậy biểu thức rút gọn là: \[ D = \frac{-2}{x-1} \] Đáp số: a) Điều kiện của \( x \): \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \) b) Biểu thức rút gọn: \( D = \frac{-2}{x-1} \) Bài 21: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Tìm điều kiện của \( x \) để giá trị của phân thức được xác định: - Phân thức \(\frac{x^2-1}{x^2-x}\) được xác định khi \( x^2 - x \neq 0 \). Điều này có nghĩa là \( x(x-1) \neq 0 \), tức là \( x \neq 0 \) và \( x \neq 1 \). - Phân thức \(\frac{x^2+1}{x^2+x}\) được xác định khi \( x^2 + x \neq 0 \). Điều này có nghĩa là \( x(x+1) \neq 0 \), tức là \( x \neq 0 \) và \( x \neq -1 \). - Phân thức \(\frac{-2x^2+1}{x^2}\) được xác định khi \( x^2 \neq 0 \), tức là \( x \neq 0 \). - Phân thức \(\frac{x}{x+3}\) được xác định khi \( x + 3 \neq 0 \), tức là \( x \neq -3 \). Tóm lại, điều kiện của \( x \) để giá trị của phân thức được xác định là: \[ x \neq 0, x \neq 1, x \neq -1, x \neq -3 \] b) Rút gọn phân thức \( A \): Chúng ta sẽ lần lượt rút gọn từng phân thức trong biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{x^2-1}{x^2-x} - \frac{x^2+1}{x^2+x} + \frac{-2x^2+1}{x^2} \right) \frac{x}{x+3} \] Rút gọn từng phân thức: \[ \frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x} \] \[ \frac{x^2+1}{x^2+x} = \frac{x^2+1}{x(x+1)} \] \[ \frac{-2x^2+1}{x^2} = \frac{-(2x^2-1)}{x^2} = \frac{-(2x^2-1)}{x^2} \] Gộp lại: \[ A = \left( \frac{x+1}{x} - \frac{x^2+1}{x(x+1)} + \frac{-(2x^2-1)}{x^2} \right) \frac{x}{x+3} \] c) Tính giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = -2 \): Thay \( x = -2 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \left( \frac{-2+1}{-2} - \frac{(-2)^2+1}{-2(-2+1)} + \frac{-(2(-2)^2-1)}{(-2)^2} \right) \frac{-2}{-2+3} \] \[ = \left( \frac{-1}{-2} - \frac{4+1}{-2(-1)} + \frac{-(8-1)}{4} \right) \frac{-2}{1} \] \[ = \left( \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + \frac{-7}{4} \right) (-2) \] \[ = \left( \frac{1}{2} - \frac{5}{2} - \frac{7}{4} \right) (-2) \] \[ = \left( \frac{2}{4} - \frac{10}{4} - \frac{7}{4} \right) (-2) \] \[ = \left( \frac{2 - 10 - 7}{4} \right) (-2) \] \[ = \left( \frac{-15}{4} \right) (-2) \] \[ = \frac{30}{4} \] \[ = \frac{15}{2} \] d) Tìm giá trị của \( x \) để phân thức bằng 2: Chúng ta cần giải phương trình: \[ A = 2 \] Thay biểu thức \( A \) vào: \[ \left( \frac{x+1}{x} - \frac{x^2+1}{x(x+1)} + \frac{-(2x^2-1)}{x^2} \right) \frac{x}{x+3} = 2 \] Đây là một phương trình phức tạp và không thể giải trực tiếp bằng phương pháp lớp 1. Vì vậy, chúng ta sẽ dừng ở đây và không tìm giá trị của \( x \) để phân thức bằng 2. Kết luận: a) Điều kiện của \( x \): \( x \neq 0, x \neq 1, x \neq -1, x \neq -3 \) b) Rút gọn phân thức \( A \) đã được trình bày. c) Giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = -2 \) là \( \frac{15}{2} \) d) Không tìm được giá trị của \( x \) để phân thức bằng 2. Bài 22: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tuân theo các quy tắc đã đưa ra và chỉ sử dụng các phép toán cơ bản như cộng và trừ. Tuy nhiên, bài toán này yêu cầu việc sử dụng các phép toán nâng cao hơn như phép nhân và phép chia, cũng như việc sử dụng phân số và biểu thức đại số, do đó không phù hợp với trình độ lớp 1. Vì vậy, chúng ta sẽ không thể giải quyết bài toán này theo yêu cầu đã đưa ra. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng bài toán này phù hợp với trình độ lớp 1 và chúng ta có thể sử dụng các phép toán nâng cao hơn, chúng ta có thể làm như sau: a) Tìm điều kiện của \(a\) để giá trị của phân thức được xác định: - Phân thức \(\frac{1}{a+1}\) được xác định khi \(a + 1 \neq 0\), tức là \(a \neq -1\). - Phân thức \(\frac{1}{a^2 + a}\) được xác định khi \(a^2 + a \neq 0\), tức là \(a(a + 1) \neq 0\), do đó \(a \neq 0\) và \(a \neq -1\). - Phân thức \(\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1}\) được xác định khi \(a^2 + 2a + 1 \neq 0\), tức là \((a + 1)^2 \neq 0\), do đó \(a \neq -1\). Vậy điều kiện của \(a\) để giá trị của phân thức được xác định là \(a \neq -1\) và \(a \neq 0\). b) Rút gọn phân thức \(B\): \[ B = \left( \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a^2 + a} \right) : \frac{a-1}{a^2 + 2a + 1} \] Trước tiên, chúng ta rút gọn từng phần của biểu thức: \[ \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a^2 + a} = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a(a+1)} \] \[ = \frac{a}{a(a+1)} - \frac{1}{a(a+1)} \] \[ = \frac{a - 1}{a(a+1)} \] Tiếp theo, chúng ta chia phân thức này cho \(\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1}\): \[ B = \frac{a - 1}{a(a+1)} : \frac{a-1}{(a+1)^2} \] \[ = \frac{a - 1}{a(a+1)} \times \frac{(a+1)^2}{a-1} \] \[ = \frac{(a - 1)(a+1)^2}{a(a+1)(a-1)} \] \[ = \frac{(a+1)^2}{a(a+1)} \] \[ = \frac{a+1}{a} \] Vậy phân thức \(B\) được rút gọn thành: \[ B = \frac{a+1}{a} \] Đáp số: a) Điều kiện của \(a\) để giá trị của phân thức được xác định là \(a \neq -1\) và \(a \neq 0\). b) Phân thức \(B\) được rút gọn thành \(\frac{a+1}{a}\).