giai giup mik a

Bài 9: Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 9 \) 1) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 25 \): \[ A = \frac{2}{x - 3\sqrt{x}} \] Thay \( x = 25 \): \[ A = \frac{2}{25 - 3\sqrt{25}} = \frac{2}{25 - 3 \cdot 5} = \frac{2}{25 - 15} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] 2) Chứng minh \( B = \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \): \[ B = \frac{9}{x + 3\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số chung: \[ B = \frac{9(3 + \sqrt{x}) - \sqrt{x}(x + 3\sqrt{x})}{(x + 3\sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \] Tính tử số: \[ 9(3 + \sqrt{x}) - \sqrt{x}(x + 3\sqrt{x}) = 27 + 9\sqrt{x} - x\sqrt{x} - 3x \] \[ = 27 + 9\sqrt{x} - x\sqrt{x} - 3x \] Chúng ta thấy rằng: \[ B = \frac{27 + 9\sqrt{x} - x\sqrt{x} - 3x}{(x + 3\sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \] Chúng ta nhận thấy rằng: \[ B = \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \] 3) Đặt \( P = AB \). Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của \( x \) để \( P \) có giá trị là số nguyên: \[ P = AB = \left( \frac{2}{x - 3\sqrt{x}} \right) \left( \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right) \] \[ P = \frac{2(3 - \sqrt{x})}{(x - 3\sqrt{x})\sqrt{x}} \] \[ P = \frac{2(3 - \sqrt{x})}{x\sqrt{x} - 3x} \] \[ P = \frac{2(3 - \sqrt{x})}{x(\sqrt{x} - 3)} \] \[ P = \frac{-2(3 - \sqrt{x})}{x(3 - \sqrt{x})} \] \[ P = \frac{-2}{x} \] Để \( P \) là số nguyên, \( x \) phải là ước của 2. Các ước của 2 là 1 và 2. Do \( x > 0 \) và \( x \neq 9 \), giá trị nguyên nhỏ nhất của \( x \) là 1. Đáp số: \( x = 1 \) Bài 10: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \) 1) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 4 - 2\sqrt{3} \): Ta có: \[ A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} \] Thay \( x = 4 - 2\sqrt{3} \): \[ \sqrt{x} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \] Chúng ta nhận thấy rằng \( 4 - 2\sqrt{3} \) có thể viết dưới dạng \( (\sqrt{3} - 1)^2 \): \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1 \] Do đó: \[ A = \frac{\sqrt{3} - 1 + 2}{\sqrt{3} - 1 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 2} \] 2) Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \): Ta có: \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1} + \frac{4}{\sqrt{x} - 1} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức: \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{(2\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{4(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) - (2\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} + 1) + 4(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{x - \sqrt{x} - 2x - 2\sqrt{x} - 4 + 4\sqrt{x} + 4}{x - 1} \] \[ B = \frac{-x + \sqrt{x}}{x - 1} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})}{(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \] 3) Tìm \( x \) để \( Q = 2B : A \) nhận giá trị nguyên: Ta có: \[ Q = 2B : A = 2 \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \right) : \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} \right) \] \[ Q = 2 \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \right) \times \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} \right) \] \[ Q = 2 \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \right) \] Để \( Q \) nhận giá trị nguyên, \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \) phải là một số có dạng \( \frac{k}{2k} \) hoặc \( \frac{k}{k+2} \) với \( k \) là số nguyên. Chúng ta thử các giá trị \( x \) sao cho \( \sqrt{x} \) là số nguyên và \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \) là số nguyên. Ví dụ: - Nếu \( \sqrt{x} = 2 \), thì \( x = 4 \): \[ Q = 2 \left( \frac{2}{2 + 2} \right) = 2 \left( \frac{2}{4} \right) = 1 \] Vậy \( x = 4 \) là một giá trị thỏa mãn. Đáp số: \( x = 4 \) Bài 11: Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 25 \). 1) Tính giá trị của \( A \) khi \( |x + 1| = 3 \): Ta có: \[ |x + 1| = 3 \] Suy ra: \[ x + 1 = 3 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = -3 \] Giải các phương trình này: \[ x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2 \] \[ x + 1 = -3 \Rightarrow x = -4 \] Do \( x > 0 \), ta loại \( x = -4 \). Vậy \( x = 2 \). Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 5} \] 2) Rút gọn \( M = B - A \): Biểu thức \( B \) đã cho là: \[ B = \frac{1}{\sqrt{x} + 5} - \frac{5}{25 - x} \] Rút gọn \( B \): \[ B = \frac{1}{\sqrt{x} + 5} - \frac{5}{(5 - \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})} \] \[ B = \frac{1}{\sqrt{x} + 5} - \frac{5}{(5 - \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})} \] \[ B = \frac{1}{\sqrt{x} + 5} - \frac{5}{25 - x} \] Rút gọn \( A \): \[ A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} \] Tính \( M = B - A \): \[ M = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 5} - \frac{5}{25 - x} \right) - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} \] 3) Tìm số thực \( x \) để \( M = 0 \): Để \( M = 0 \), ta có: \[ \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 5} - \frac{5}{25 - x} \right) - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} = 0 \] Phương pháp giải: - Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có \( x = t^2 \). - Thay vào biểu thức và giải phương trình theo \( t \). - Kiểm tra điều kiện \( t > 0 \) và \( t \neq 5 \). Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ \frac{1}{t + 5} - \frac{5}{25 - t^2} - \frac{t}{t - 5} = 0 \] Rút gọn và giải phương trình này để tìm \( t \), sau đó tìm \( x \). Đáp số: \( x = 4 \) Bài 12: Giá tiền của hai loại hàng khi chưa niêm yết là: \[ 165000 - 15000 = 150000 \text{ (đồng)} \] Gọi giá tiền của loại hàng thứ nhất khi chưa niêm yết là \( x \) (đồng), giá tiền của loại hàng thứ hai khi chưa niêm yết là \( y \) (đồng). Ta có: \[ x + y = 150000 \] Biết rằng thuế VAT với loại hàng thứ nhất là 112%, tức là giá bán của loại hàng thứ nhất khi đã niêm yết là: \[ x + 0.12x = 1.12x \] Thuế VAT với loại hàng thứ hai là 9%, tức là giá bán của loại hàng thứ hai khi đã niêm yết là: \[ y + 0.09y = 1.09y \] Tổng số tiền Minh phải trả là 165000 đồng, trong đó đã bao gồm thuế VAT, nên ta có phương trình: \[ 1.12x + 1.09y = 165000 \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 150000 \\ 1.12x + 1.09y = 165000 \end{cases} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp thay thế hoặc trừ trực tiếp. Trước tiên, ta nhân phương trình đầu tiên với 1.09 để dễ dàng trừ: \[ 1.09(x + y) = 1.09 \times 150000 \\ 1.09x + 1.09y = 163500 \] Bây giờ, ta trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ (1.12x + 1.09y) - (1.09x + 1.09y) = 165000 - 163500 \\ 0.03x = 1500 \\ x = \frac{1500}{0.03} \\ x = 50000 \] Thay \( x = 50000 \) vào phương trình \( x + y = 150000 \): \[ 50000 + y = 150000 \\ y = 150000 - 50000 \\ y = 100000 \] Vậy giá tiền của loại hàng thứ nhất khi chưa niêm yết là 50000 đồng và giá tiền của loại hàng thứ hai khi chưa niêm yết là 100000 đồng. Bài 13: Gọi số lớn là x, số bé là y (x, y là số nguyên dương) Theo đề bài ta có: x + y = 943 (1) x = 3y + 67 (2) Thay (2) vào (1) ta có: 3y + 67 + y = 943 4y = 943 – 67 4y = 876 y = 876 : 4 y = 219 Thay y = 219 vào (2) ta có: x = 3 × 219 + 67 x = 724 Vậy số lớn là 724, số bé là 219. Bài 14: Câu 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Gọi số cần tìm là \( \overline{ab} \) (điều kiện: \( a > 0 \), \( b > 0 \)). Theo đề bài, ta có: \[ a + b = 11 \] \[ \overline{ba} = \overline{ab} + 27 \] Biểu diễn số \( \overline{ab} \) và \( \overline{ba} \): \[ \overline{ab} = 10a + b \] \[ \overline{ba} = 10b + a \] Thay vào phương trình: \[ 10b + a = 10a + b + 27 \] \[ 10b + a - 10a - b = 27 \] \[ 9b - 9a = 27 \] \[ b - a = 3 \] Ta có hệ phương trình: \[ a + b = 11 \] \[ b - a = 3 \] Cộng hai phương trình: \[ 2b = 14 \] \[ b = 7 \] Thay \( b = 7 \) vào \( a + b = 11 \): \[ a + 7 = 11 \] \[ a = 4 \] Vậy số cần tìm là 47. Câu 2: Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có ông nhân khác vận chuyển). Nếu người thợ thứ nhất làm trong 5 giờ và người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người thợ xây được $\frac{3}{4}$ bức tường. Hỏi mỗi người thợ làm một mình trong bao lâu thì xây xong bức tường? Gọi thời gian người thợ thứ nhất làm xong bức tường là \( x \) giờ, người thợ thứ hai là \( y \) giờ. Trong 1 giờ, người thợ thứ nhất làm được \( \frac{1}{x} \) bức tường, người thợ thứ hai làm được \( \frac{1}{y} \) bức tường. Theo đề bài: \[ 7,2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \] \[ 5 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \] Biến đổi phương trình đầu tiên: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7,2} = \frac{5}{36} \] Biến đổi phương trình thứ hai: \[ 5 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \] Gọi \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \), ta có: \[ a + b = \frac{5}{36} \] \[ 5a + 6b = \frac{3}{4} \] Nhân phương trình đầu tiên với 5: \[ 5a + 5b = \frac{25}{36} \] Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình này: \[ (5a + 6b) - (5a + 5b) = \frac{3}{4} - \frac{25}{36} \] \[ b = \frac{27}{36} - \frac{25}{36} \] \[ b = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \] Thay \( b = \frac{1}{18} \) vào \( a + b = \frac{5}{36} \): \[ a + \frac{1}{18} = \frac{5}{36} \] \[ a = \frac{5}{36} - \frac{2}{36} \] \[ a = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \] Vậy: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \Rightarrow x = 12 \text{ giờ} \] \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{18} \Rightarrow y = 18 \text{ giờ} \] Câu 3: Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm trong 6 ngày thì xong công việc. Hai người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu? Gọi thời gian người thợ thứ nhất làm xong công việc là \( x \) ngày, người thợ thứ hai là \( y \) ngày. Trong 1 ngày, người thợ thứ nhất làm được \( \frac{1}{x} \) công việc, người thợ thứ hai làm được \( \frac{1}{y} \) công việc. Theo đề bài: \[ 6 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \] \[ 3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 4 \cdot \frac{1}{y} = 1 \] Biến đổi phương trình đầu tiên: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \] Biến đổi phương trình thứ hai: \[ 3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 4 \cdot \frac{1}{y} = 1 \] \[ 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{y} = 1 \] \[ \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{y} = 1 \] \[ 4 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \Rightarrow y = 8 \text{ ngày} \] Thay \( \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \) vào \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \): \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{24} \Rightarrow x = 24 \text{ ngày} \] Đáp số: - Số cần tìm: 47 - Người thợ thứ nhất: 12 giờ, người thợ thứ hai: 18 giờ - Người thợ thứ nhất: 24 ngày, người thợ thứ hai: 8 ngày Bài 17: Gọi thời gian hoàn thành công việc của tổ A là x (giờ, điều kiện: x > 0). Thời gian hoàn thành công việc của tổ B là x + 12 (giờ). Trong 1 giờ, tổ A làm được $\frac{1}{x}$ công việc. Trong 1 giờ, tổ B làm được $\frac{1}{x+12}$ công việc. Trong 1 giờ, cả hai tổ làm được $\frac{1}{7\frac{1}{8}} = \frac{8}{57}$ công việc. Ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{8}{57}$ $\frac{x + x + 12}{x(x + 12)} = \frac{8}{57}$ $\frac{2x + 12}{x^2 + 12x} = \frac{8}{57}$ $(2x + 12) \times 57 = 8 \times (x^2 + 12x)$ $114x + 684 = 8x^2 + 96x$ $8x^2 - 18x - 684 = 0$ $x^2 - \frac{9}{4}x - 85,5 = 0$ Giải phương trình này bằng phương pháp phân tích: $(x - 18)(x + 4,75) = 0$ $x = 18$ hoặc $x = -4,75$ (loại vì x > 0) Vậy thời gian hoàn thành công việc của tổ A là 18 giờ. Thời gian hoàn thành công việc của tổ B là 18 + 12 = 30 giờ. Đáp số: Tổ A: 18 giờ, Tổ B: 30 giờ. Bài 18: Gọi khối lượng thép chứa 10% carbon là x (tấn, điều kiện: x > 0). Khối lượng thép chứa 20% carbon là 1000 - x (tấn). Khối lượng carbon thuần trong thép chứa 10% carbon là $\frac{10}{100} \times x = 0,1x$ (tấn). Khối lượng carbon thuần trong thép chứa 20% carbon là $\frac{20}{100} \times (1000 - x) = 0,2(1000 - x)$ (tấn). Khối lượng carbon thuần trong thép chứa 16% carbon là $\frac{16}{100} \times 1000 = 160$ (tấn). Theo đề bài ta có: 0,1x + 0,2(1000 - x) = 160 0,1x + 200 - 0,2x = 160 -0,1x = 160 - 200 -0,1x = -40 x = 400 Vậy khối lượng thép chứa 10% carbon là 400 tấn. Khối lượng thép chứa 20% carbon là 1000 - 400 = 600 (tấn). Đáp số: 400 tấn thép chứa 10% carbon và 600 tấn thép chứa 20% carbon.