Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại A cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại B cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ. Xưởng hiện có 200 kg n...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tối ưu hóa lợi nhuận dựa trên các ràng buộc về nguyên liệu và thời gian làm việc. Bước 1: Gọi số kg sản phẩm loại A sản xuất được là \( x \) và số kg sản phẩm loại B sản xuất được là \( y \). Bước 2: Xác định các điều kiện ràng buộc: - Số lượng nguyên liệu: \( 2x + 4y \leq 200 \) - Thời gian làm việc: \( 30x + 15y \leq 50 \times 24 \times 24 \) (vì 1 ngày có 24 giờ) Bước 3: Viết phương trình lợi nhuận: \[ P = 400000x + 300000y \] Bước 4: Giải hệ bất phương trình để tìm các điểm cực biên: \[ \begin{cases} 2x + 4y \leq 200 \\ 30x + 15y \leq 12000 \end{cases} \] Chúng ta sẽ vẽ đồ thị các bất phương trình này trên cùng một hệ tọa độ để tìm các điểm cực biên. Bước 5: Tìm các điểm cực biên: - Giao điểm của \( 2x + 4y = 200 \) và \( 30x + 15y = 12000 \): \[ \begin{cases} 2x + 4y = 200 \\ 30x + 15y = 12000 \end{cases} \] Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho 15: \[ \begin{cases} 2x + 4y = 200 \\ 2x + y = 800 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ 3y = -600 \Rightarrow y = -200 \] (không thỏa mãn vì \( y \geq 0 \)) Do đó, ta cần kiểm tra các điểm cực biên khác: - Điểm \( (0, 0) \) - Điểm \( (0, 50) \) (khi \( y = 50 \)) - Điểm \( (40, 0) \) (khi \( x = 40 \)) Bước 6: Tính lợi nhuận tại các điểm cực biên: - Tại \( (0, 0) \): \[ P = 400000 \times 0 + 300000 \times 0 = 0 \] - Tại \( (0, 50) \): \[ P = 400000 \times 0 + 300000 \times 50 = 15000000 \] - Tại \( (40, 0) \): \[ P = 400000 \times 40 + 300000 \times 0 = 16000000 \] Bước 7: So sánh các giá trị lợi nhuận: - \( P(0, 0) = 0 \) - \( P(0, 50) = 15000000 \) - \( P(40, 0) = 16000000 \) Như vậy, lợi nhuận cao nhất mà xưởng sản xuất có thể đạt được là 16 triệu đồng khi sản xuất 40 kg sản phẩm loại A và không sản xuất sản phẩm loại B. Đáp số: 16 triệu đồng.