Bài 1: Cho ∆ABC cân tại A. D ∈ đoạn AB, E ∈ tia đối CA sao cho BD = CE, BC cắt DE tại M. CMR: M là trung điểm DE Bài 2: Cho ∆ABC có AB<AC, M là trung điểm BC, qua M kẻ đường thẳng vuông góc phân giác...

Bài 1: Xét tam giác ABD và tam giác ACE: - AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A) - BD = CE (theo đề bài) - Góc BAD = góc CAE (góc ở đỉnh A) Do đó, tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Từ đó ta có: - AD = AE (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) - Góc ADB = góc AEC (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Vì tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau nên tam giác ADE là tam giác cân tại A (AD = AE). Gọi F là giao điểm của đường thẳng DE và đường thẳng BC. Ta có: - Góc ADF = góc AEF (góc ngoài của tam giác ADE) - Góc AFD = góc AFE (đối đỉnh) Do đó, tam giác ADF và tam giác AEF bằng nhau (góc - cạnh - góc). Từ đó ta có: - DF = EF (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Vậy M là trung điểm của DE (vì DF = EF). Đáp số: M là trung điểm của DE. Bài 2: Để chứng minh \(BE = CF\) trong tam giác \(ABC\) với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - \(M\) là trung điểm của \(BC\), tức là \(BM = MC\). - Đường thẳng qua \(M\) vuông góc với phân giác của góc \(BAC\) cắt \(AB\) tại \(E\) và \(AC\) tại \(F\). 2. Xét tính chất của đường thẳng vuông góc với phân giác: - Đường thẳng vuông góc với phân giác của một góc sẽ tạo ra hai góc vuông ở hai phía của phân giác đó. - Do đó, đường thẳng này sẽ tạo ra hai tam giác vuông \(AME\) và \(AMF\) với chung một cạnh \(AM\). 3. Xét tính chất của tam giác vuông: - Trong tam giác \(AME\) và \(AMF\), ta có: - \(AM\) là cạnh chung. - \(\angle AME = \angle AMF = 90^\circ\) (vì đường thẳng vuông góc với phân giác). - \(ME = MF\) (vì đường thẳng vuông góc với phân giác chia đôi đoạn thẳng \(EF\)). 4. Áp dụng tính chất của tam giác cân: - Vì \(ME = MF\) và \(\angle AME = \angle AMF\), nên tam giác \(AME\) và \(AMF\) là hai tam giác cân tại \(A\). - Do đó, \(AE = AF\). 5. Xét tính chất của tam giác ABC: - Ta có \(AB < AC\), do đó \(E\) nằm trên \(AB\) và \(F\) nằm trên \(AC\). - Vì \(AE = AF\) và \(AB < AC\), nên \(BE = CF\). 6. Kết luận: - Từ các bước trên, ta đã chứng minh được \(BE = CF\). Vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh \(BE = CF\) trong tam giác \(ABC\) với các điều kiện đã cho. Bài 3: Xét tam giác ABE và tam giác ABF: - AB chung - Góc BAE = góc BAF = 45° - Góc AEB = góc AFB = 90° Do đó, tam giác ABE và tam giác ABF bằng nhau (cạnh huyền và 1 góc nhọn) Suy ra BE = BF và góc ABE = góc ABF = 45° Mà góc EBF = 90° nên tam giác EBF vuông cân tại B.