Giúp mình bài 4

Bài 4: a) Xác định giá trị chân lý của các mệnh đề $r$ và $t$: - Mệnh đề $r$: ``35 không chia hết cho 6`` - Ta kiểm tra: 35 chia cho 6 dư 5, do đó 35 không chia hết cho 6. - Vậy mệnh đề $r$ là đúng (True). - Mệnh đề $t$: ``31`` - Mệnh đề này không có nội dung cụ thể, nên không thể xác định giá trị chân lý của nó. Ta giả sử đây là một lỗi và bỏ qua. b) Xác định giá trị chân lý của các công thức logic: - Mệnh đề $p$: ``8 chia hết cho 3`` - Ta kiểm tra: 8 chia cho 3 dư 2, do đó 8 không chia hết cho 3. - Vậy mệnh đề $p$ là sai (False). - Mệnh đề $q$: ``7 chia hết cho 3`` - Ta kiểm tra: 7 chia cho 3 dư 1, do đó 7 không chia hết cho 3. - Vậy mệnh đề $q$ là sai (False). - Mệnh đề $r$: ``(7 + 8) chia hết cho 3`` - Ta tính: 7 + 8 = 15, và 15 chia hết cho 3. - Vậy mệnh đề $r$ là đúng (True). Bây giờ ta sẽ xác định giá trị chân lý của các công thức logic: 1. $(p \vee q) \rightarrow r$ - $(p \vee q)$: ``8 chia hết cho 3 hoặc 7 chia hết cho 3`` - Vì cả $p$ và $q$ đều sai, nên $(p \vee q)$ cũng là sai (False). - $(p \vee q) \rightarrow r$: ``Nếu 8 chia hết cho 3 hoặc 7 chia hết cho 3 thì (7 + 8) chia hết cho 3`` - Vì tiền đề là sai, nên theo quy tắc logic, mệnh đề này là đúng (True). 2. $(p \wedge q) \rightarrow r$ - $(p \wedge q)$: ``8 chia hết cho 3 và 7 chia hết cho 3`` - Vì cả $p$ và $q$ đều sai, nên $(p \wedge q)$ cũng là sai (False). - $(p \wedge q) \rightarrow r$: ``Nếu 8 chia hết cho 3 và 7 chia hết cho 3 thì (7 + 8) chia hết cho 3`` - Vì tiền đề là sai, nên theo quy tắc logic, mệnh đề này là đúng (True). 3. $(r \rightarrow (p \wedge q))$ - $(r \rightarrow (p \wedge q))$: ``Nếu (7 + 8) chia hết cho 3 thì 8 chia hết cho 3 và 7 chia hết cho 3`` - Vì $r$ là đúng và $(p \wedge q)$ là sai, nên theo quy tắc logic, mệnh đề này là sai (False). Kết luận: - $(p \vee q) \rightarrow r$ là đúng (True). - $(p \wedge q) \rightarrow r$ là đúng (True). - $(r \rightarrow (p \wedge q))$ là sai (False). Bài 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X: - X có thể nhận các giá trị từ 0 đến 3 (vì chúng ta chọn 3 sản phẩm). 2. Tính xác suất cho mỗi giá trị của X: - Số cách chọn 3 sản phẩm từ 45 sản phẩm là $\binom{45}{3}$. - Số cách chọn k phế phẩm từ 5 phế phẩm và 3-k sản phẩm tốt từ 40 sản phẩm tốt là $\binom{5}{k} \times \binom{40}{3-k}$. 3. Tính xác suất cho từng giá trị của X: - X = 0: Chọn 3 sản phẩm tốt từ 40 sản phẩm tốt. \[ P(X=0) = \frac{\binom{40}{3}}{\binom{45}{3}} \] - X = 1: Chọn 1 phế phẩm từ 5 phế phẩm và 2 sản phẩm tốt từ 40 sản phẩm tốt. \[ P(X=1) = \frac{\binom{5}{1} \times \binom{40}{2}}{\binom{45}{3}} \] - X = 2: Chọn 2 phế phẩm từ 5 phế phẩm và 1 sản phẩm tốt từ 40 sản phẩm tốt. \[ P(X=2) = \frac{\binom{5}{2} \times \binom{40}{1}}{\binom{45}{3}} \] - X = 3: Chọn 3 phế phẩm từ 5 phế phẩm. \[ P(X=3) = \frac{\binom{5}{3}}{\binom{45}{3}} \] 4. Tính kỳ vọng EX: \[ EX = \sum_{k=0}^{3} k \cdot P(X=k) \] 5. Tính phương sai VX: \[ VX = \sum_{k=0}^{3} (k - EX)^2 \cdot P(X=k) \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính cụ thể từng phần: - Tổng số cách chọn 3 sản phẩm từ 45 sản phẩm: \[ \binom{45}{3} = \frac{45 \times 44 \times 43}{3 \times 2 \times 1} = 14190 \] - X = 0: \[ P(X=0) = \frac{\binom{40}{3}}{\binom{45}{3}} = \frac{\frac{40 \times 39 \times 38}{3 \times 2 \times 1}}{14190} = \frac{9880}{14190} = \frac{988}{1419} \] - X = 1: \[ P(X=1) = \frac{\binom{5}{1} \times \binom{40}{2}}{\binom{45}{3}} = \frac{5 \times \frac{40 \times 39}{2 \times 1}}{14190} = \frac{5 \times 780}{14190} = \frac{3900}{14190} = \frac{390}{1419} \] - X = 2: \[ P(X=2) = \frac{\binom{5}{2} \times \binom{40}{1}}{\binom{45}{3}} = \frac{10 \times 40}{14190} = \frac{400}{14190} = \frac{40}{1419} \] - X = 3: \[ P(X=3) = \frac{\binom{5}{3}}{\binom{45}{3}} = \frac{10}{14190} = \frac{1}{1419} \] Kỳ vọng EX: \[ EX = 0 \cdot \frac{988}{1419} + 1 \cdot \frac{390}{1419} + 2 \cdot \frac{40}{1419} + 3 \cdot \frac{1}{1419} = \frac{390 + 80 + 3}{1419} = \frac{473}{1419} = \frac{1}{3} \] Phương sai VX: \[ VX = \left(0 - \frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{988}{1419} + \left(1 - \frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{390}{1419} + \left(2 - \frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{40}{1419} + \left(3 - \frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{1419} \] \[ = \left(\frac{-1}{3}\right)^2 \cdot \frac{988}{1419} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{390}{1419} + \left(\frac{5}{3}\right)^2 \cdot \frac{40}{1419} + \left(\frac{8}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{1419} \] \[ = \frac{1}{9} \cdot \frac{988}{1419} + \frac{4}{9} \cdot \frac{390}{1419} + \frac{25}{9} \cdot \frac{40}{1419} + \frac{64}{9} \cdot \frac{1}{1419} \] \[ = \frac{988 + 4 \cdot 390 + 25 \cdot 40 + 64}{9 \cdot 1419} = \frac{988 + 1560 + 1000 + 64}{12771} = \frac{3612}{12771} = \frac{4}{9} \] Vậy, hàm phân phối xác suất của X là: \[ P(X=0) = \frac{988}{1419}, \quad P(X=1) = \frac{390}{1419}, \quad P(X=2) = \frac{40}{1419}, \quad P(X=3) = \frac{1}{1419} \] Kỳ vọng EX là: \[ EX = \frac{1}{3} \] Phương sai VX là: \[ VX = \frac{4}{9} \]