Giải giúp tôi

Câu 1: a) Tính $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ Đầu tiên, ta nhận thấy rằng nếu thay trực tiếp $x = 3$ vào biểu thức, ta sẽ có dạng $\frac{0}{0}$, tức là dạng bất định. Do đó, ta cần biến đổi biểu thức để loại bỏ dạng bất định này. Ta có: \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \] Do đó: \[ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} \] Khi $x \neq 3$, ta có thể giản ước phân thức: \[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 \] Bây giờ, ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6 \] b) Tính $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + 2x^2 + 1}{2x^3 + 5}$ Để tính giới hạn này, ta chia cả tử số và mẫu số cho $x^3$ (vì đây là bậc cao nhất trong cả tử số và mẫu số): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + 2x^2 + 1}{2x^3 + 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{5}{x^3}} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{5}{x^3}} \] Khi $x \to +\infty$, các phân số $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^3}$ và $\frac{5}{x^3}$ đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{5}{x^3}} = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \] Vậy: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + 2x^2 + 1}{2x^3 + 5} = \frac{1}{2} \] Câu 2: Để xét tính liên tục của hàm số \( f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2} \) trên các khoảng \((- \infty, 2)\) và \((2, +\infty)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số: Hàm số \( f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2} \) có mẫu số là \( x - 2 \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 \] Do đó, miền xác định của hàm số là \( (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) \). 2. Rút gọn biểu thức của hàm số: Ta nhận thấy rằng \( x^3 - 8 \) là một hiệu hai lập phương, do đó có thể phân tích thành: \[ x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \] Vì vậy, hàm số có thể viết lại dưới dạng: \[ f(x) = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} \] Khi \( x \neq 2 \), ta có thể giản ước \( x - 2 \) ở tử số và mẫu số: \[ f(x) = x^2 + 2x + 4 \quad \text{khi} \quad x \neq 2 \] 3. Xét tính liên tục trên các khoảng: - Trên khoảng \((- \infty, 2)\): Hàm số \( f(x) = x^2 + 2x + 4 \) là một đa thức, và mọi đa thức đều liên tục trên toàn bộ miền xác định của nó. Do đó, \( f(x) \) liên tục trên khoảng \((- \infty, 2)\). - Trên khoảng \((2, +\infty)\): Tương tự như trên, hàm số \( f(x) = x^2 + 2x + 4 \) cũng là một đa thức và liên tục trên toàn bộ miền xác định của nó. Do đó, \( f(x) \) liên tục trên khoảng \((2, +\infty)\). Kết luận: Hàm số \( f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2} \) liên tục trên các khoảng \((- \infty, 2)\) và \((2, +\infty)\). Câu 3: Xét hàm số $f(x) = x^3 + 3x^2 - 5$ trên khoảng $(0;2)$. Ta có: $f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 5 = -5$ $f(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 5 = 8 + 12 - 5 = 15$ Nhận thấy rằng $f(0) < 0$ và $f(2) > 0$. Do đó, theo định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục, tồn tại ít nhất một giá trị $c$ trong khoảng $(0;2)$ sao cho $f(c) = 0$. Vậy phương trình $x^3 + 3x^2 - 5 = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(0;2)$.