trả lời câu hỏi

Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các vectơ liên quan - Ta biết rằng G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] - Điểm N thỏa mãn: \[ \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \] Bước 2: Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AN}$ - Ta có: \[ \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \] - Do đó: \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] Bước 3: Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AN}$ - Ta có: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] - Nhân cả hai vế với 3: \[ 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] - Từ đây suy ra: \[ \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} \] - Thay $\overrightarrow{AB}$ từ biểu thức của $\overrightarrow{AN}$: \[ \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AN} - 3\overrightarrow{AC} \] - Thay vào biểu thức của $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - (2\overrightarrow{AN} - 3\overrightarrow{AC}) \] - Đơn giản hóa: \[ \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AN} + 3\overrightarrow{AC} \] \[ 0 = 3\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AN} + 2\overrightarrow{AC} \] \[ 2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AN} \] \[ \overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AG} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AN} \] Bước 4: Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AN}$ - Ta đã có: \[ \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AN} - 3\overrightarrow{AC} \] - Thay $\overrightarrow{AC}$ từ biểu thức đã tìm: \[ \overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AG} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AN} \] - Thay vào: \[ \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AN} - 3\left(\frac{3}{4}\overrightarrow{AG} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\right) \] \[ \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AN} - \frac{9}{4}\overrightarrow{AG} - \frac{3}{2}\overrightarrow{AN} \] \[ \overrightarrow{AB} = \frac{4}{2}\overrightarrow{AN} - \frac{3}{2}\overrightarrow{AN} - \frac{9}{4}\overrightarrow{AG} \] \[ \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AN} - \frac{9}{4}\overrightarrow{AG} \] Kết luận: a, Chứng minh $\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AG} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AN}$ b, Phân tích vectơ $\overrightarrow{AB}$ theo 2 vectơ $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AN}$: \[ \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AN} - \frac{9}{4}\overrightarrow{AG} \]