Giúp mình với!

Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tọa độ của điểm \( C \) trên trục \( Ox \) sao cho tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( C \). Sau đó, chúng ta sẽ tính diện tích của tam giác \( ABC \). Bước 1: Xác định tọa độ của điểm \( C \). - Điểm \( C \) nằm trên trục \( Ox \), do đó tọa độ của \( C \) có dạng \( (x, 0, 0) \). Bước 2: Xác định điều kiện để tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( C \). - Để tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( C \), vectơ \( \overrightarrow{CA} \) và vectơ \( \overrightarrow{CB} \) phải vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ này phải bằng 0. Bước 3: Tính vectơ \( \overrightarrow{CA} \) và vectơ \( \overrightarrow{CB} \). - Vectơ \( \overrightarrow{CA} = A - C = (1 - x, 2 - 0, 0 - 0) = (1 - x, 2, 0) \) - Vectơ \( \overrightarrow{CB} = B - C = (2 - x, -1 - 0, 1 - 0) = (2 - x, -1, 1) \) Bước 4: Tính tích vô hướng của \( \overrightarrow{CA} \) và \( \overrightarrow{CB} \). - Tích vô hướng \( \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (1 - x)(2 - x) + 2(-1) + 0 \cdot 1 = (1 - x)(2 - x) - 2 \) Bước 5: Đặt tích vô hướng bằng 0 để tìm \( x \). - \( (1 - x)(2 - x) - 2 = 0 \) - \( 2 - x - 2x + x^2 - 2 = 0 \) - \( x^2 - 3x = 0 \) - \( x(x - 3) = 0 \) Do đó, \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \). Vì điểm \( C \) có hoành độ dương trên trục \( Ox \), ta chọn \( x = 3 \). Bước 6: Xác định tọa độ của điểm \( C \). - Tọa độ của điểm \( C \) là \( (3, 0, 0) \). Bước 7: Tính độ dài các cạnh của tam giác \( ABC \). - Độ dài \( AC = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) - Độ dài \( BC = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \) Bước 8: Tính diện tích tam giác \( ABC \). - Diện tích tam giác \( ABC \) là \( \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6} \) Vậy đáp án đúng là \( A. \sqrt{6} \). Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một cách chi tiết. a) \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). - Ta thấy rằng trong hình lập phương, đoạn thẳng AC là đường chéo của mặt phẳng ABCD. Do đó, ta có thể viết \(\overrightarrow{AC}\) bằng cách cộng hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\). Vì vậy, phát biểu này đúng. b) \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}\). - Ta thấy rằng \(\overrightarrow{AA'}\) là vectơ chỉ từ đỉnh A lên đỉnh A'. Tuy nhiên, đoạn thẳng AC nằm trên mặt phẳng ABCD, không liên quan đến cạnh AA'. Do đó, phát biểu này sai. c) \((\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{B'C'}) = 45^\circ\). - Ta thấy rằng \(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo của mặt phẳng ABCD, còn \(\overrightarrow{B'C'}\) là đường chéo của mặt phẳng B'C'D'A'. Vì cả hai đường chéo này đều nằm trên các mặt phẳng song song và vuông góc với nhau, góc giữa chúng là 45°. Do đó, phát biểu này đúng. d) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B'C'} = \frac{\sqrt{2}a^2}{2}\). - Ta thấy rằng \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{B'C'}\) đều là đường chéo của các mặt phẳng song song và vuông góc với nhau. Tích vô hướng của hai vectơ này sẽ là 0 vì chúng vuông góc với nhau. Do đó, phát biểu này sai. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) sai. - Phát biểu c) đúng. - Phát biểu d) sai. Câu 3: a) Giá trị đại điện của nhóm [165;170) là 167,5. Giá trị đại điện của nhóm [165;170) là trung điểm của khoảng này, tức là: (165 + 170) : 2 = 167,5 b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12D là 30. Khoảng biến thiên là sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu. Với lớp 12D, nhóm có giá trị lớn nhất là [180;185) và nhóm có giá trị nhỏ nhất là [155;160). Do đó, khoảng biến thiên là: 185 - 155 = 30 c) Nếu so sánh theo khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12C có chiều cao trung bình đồng đều hơn học sinh nữ lớp 12D. Khoảng tử phân vị là khoảng giữa hai phân vị thứ 3 và thứ 1. Để so sánh độ đồng đều của chiều cao, chúng ta cần tính khoảng tử phân vị cho cả hai lớp. Tuy nhiên, vì không có dữ liệu chi tiết về phân vị, chúng ta chỉ có thể dựa vào phân bố của các nhóm để phỏng đoán. Lớp 12C có nhiều học sinh tập trung trong nhóm [165;170), trong khi lớp 12D có phân bố rộng hơn. Do đó, có thể nói rằng học sinh nữ lớp 12C có chiều cao trung bình đồng đều hơn. d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12D có chiều cao trung bình đồng đều hơn. Độ lệch chuẩn là một thước đo độ phân tán của dữ liệu. Một độ lệch chuẩn thấp hơn cho thấy dữ liệu đồng đều hơn. Vì lớp 12D có phân bố rộng hơn và có nhiều nhóm có số lượng học sinh ít hơn, nên có thể nói rằng độ lệch chuẩn của lớp 12D có thể thấp hơn, cho thấy chiều cao trung bình đồng đều hơn.