Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: B=1/2.(x-1)^2+3 G=1/√ x+3 bÀI 2: Ba số a,b,c khác 0 và a+b+c khác 0, thoả mãn điều kiện: a/b+c=b/c+a=c/a+b Tính giá trị của biểu thức: F=b+c/a+c+a/b+a+b/...

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) \( B = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 3 \) Ta thấy \((x-1)^2 \geq 0\) với mọi \(x\). Do đó, \(\frac{1}{2}(x-1)^2 \geq 0\). Vậy \( B = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 3 \geq 3 \). Giá trị lớn nhất của \(B\) là 3, đạt được khi \(x = 1\). b) \( G = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} \) Ta thấy \(\sqrt{x} \geq 0\) với mọi \(x \geq 0\). Do đó, \(\sqrt{x} + 3 \geq 3\). Vậy \( G = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} \leq \frac{1}{3} \). Giá trị lớn nhất của \(G\) là \(\frac{1}{3}\), đạt được khi \(x = 0\). Bài 2: Ba số \(a, b, c\) khác 0 và \(a + b + c\) khác 0, thỏa mãn điều kiện: \(\frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b}\). Tính giá trị của biểu thức: \(F = \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c}\) Gọi \(\frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} = k\). Do đó ta có: \[ a = k(b+c) \] \[ b = k(c+a) \] \[ c = k(a+b) \] Cộng cả ba phương trình lại: \[ a + b + c = k(b+c) + k(c+a) + k(a+b) \] \[ a + b + c = k(2a + 2b + 2c) \] \[ a + b + c = 2k(a + b + c) \] Vì \(a + b + c \neq 0\), ta chia cả hai vế cho \(a + b + c\): \[ 1 = 2k \] \[ k = \frac{1}{2} \] Thay \(k = \frac{1}{2}\) vào biểu thức \(F\): \[ F = \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \] \[ F = \frac{2a}{a} + \frac{2b}{b} + \frac{2c}{c} \] \[ F = 2 + 2 + 2 = 6 \] Vậy giá trị của biểu thức \(F\) là 6. Bài 3: Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội 1 cày trong 5 ngày, đội hai cày trong 4 ngày và đội ba cày trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết rằng cả 3 đội có tất cả 37 máy? (Năng suất các máy là như nhau). Gọi năng suất của mỗi máy cày là 1 phần công việc/ngày. Đội 1 cày trong 5 ngày, nên tổng công việc của đội 1 là \(5 \times \text{số máy của đội 1}\). Đội 2 cày trong 4 ngày, nên tổng công việc của đội 2 là \(4 \times \text{số máy của đội 2}\). Đội 3 cày trong 6 ngày, nên tổng công việc của đội 3 là \(6 \times \text{số máy của đội 3}\). Vì ba cánh đồng có cùng diện tích, nên tổng công việc của ba đội phải bằng nhau: \[ 5 \times \text{số máy của đội 1} = 4 \times \text{số máy của đội 2} = 6 \times \text{số máy của đội 3} \] Gọi số máy của đội 1 là \(a\), số máy của đội 2 là \(b\), số máy của đội 3 là \(c\). Ta có: \[ 5a = 4b = 6c \] Từ đây, ta có: \[ a = \frac{4b}{5} \] \[ c = \frac{2b}{3} \] Vì \(a, b, c\) là số nguyên, nên \(b\) phải chia hết cho 5 và 3. Lấy \(b = 15\) (số nhỏ nhất chia hết cho cả 5 và 3). Thay \(b = 15\) vào: \[ a = \frac{4 \times 15}{5} = 12 \] \[ c = \frac{2 \times 15}{3} = 10 \] Kiểm tra tổng số máy: \[ a + b + c = 12 + 15 + 10 = 37 \] Vậy số máy của đội 1 là 12, đội 2 là 15, đội 3 là 10. Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch. Bước 1: Xác định mối liên hệ giữa số công nhân và thời gian hoàn thành công việc. - Số công nhân càng nhiều thì thời gian hoàn thành công việc càng ít (tỷ lệ nghịch). - Thời gian hoàn thành công việc càng ít thì số công nhân cần thiết càng nhiều (tỷ lệ thuận). Bước 2: Xác định số công việc mà 1 công nhân hoàn thành trong 1 ngày. - 48 công nhân hoàn thành công việc trong 12 ngày. - Vậy số công việc mà 1 công nhân hoàn thành trong 1 ngày là: \[ \frac{1}{48} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{576} \text{ (công việc/ngày)} \] Bước 3: Xác định số công việc mà 1 công nhân hoàn thành trong 1 ngày mới. - Giả sử số công nhân còn lại là x. - Thời gian hoàn thành công việc mới là y ngày. - Vậy số công việc mà 1 công nhân hoàn thành trong 1 ngày mới là: \[ \frac{1}{x} \times \frac{1}{y} = \frac{1}{xy} \text{ (công việc/ngày)} \] Bước 4: Áp dụng tính chất tỷ lệ nghịch để tìm số công nhân còn lại. - Số công việc mà 1 công nhân hoàn thành trong 1 ngày không thay đổi, nên: \[ \frac{1}{576} = \frac{1}{xy} \] \[ xy = 576 \] Bước 5: Tìm số công nhân còn lại. - Giả sử số công nhân còn lại là x và thời gian hoàn thành công việc mới là y ngày. - Ta có: \[ x \times y = 576 \] Bước 6: Xác định thời gian hoàn thành công việc mới. - Giả sử thời gian hoàn thành công việc mới là 16 ngày (vì 16 là số ngày mà 36 công nhân hoàn thành công việc). - Vậy số công nhân còn lại là: \[ x = \frac{576}{16} = 36 \] Vậy số công nhân còn lại phải hoàn thành công việc là 36 công nhân. Bài 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Các phân thức có mẫu số khác 0, do đó: \( y \neq 0 \) \( x \neq 0 \) Bước 2: Nhân cả hai vế của phương trình với 72x để loại bỏ các mẫu số: \[ 72x \left(1 + \frac{2y}{18}\right) = 72x \left(1 + \frac{4y}{24} + 1 + \frac{6y}{6x}\right) \] Bước 3: Thực hiện phép nhân: \[ 72x + 8xy = 72x + 12xy + 72x + 72y \] Bước 4: Thu gọn các hạng tử: \[ 72x + 8xy = 144x + 12xy + 72y \] Bước 5: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ 72x + 8xy - 144x - 12xy - 72y = 0 \] Bước 6: Thu gọn các hạng tử: \[ -72x - 4xy - 72y = 0 \] Bước 7: Chia cả hai vế cho -4: \[ 18x + xy + 18y = 0 \] Bước 8: Nhóm các hạng tử liên quan đến x: \[ x(18 + y) + 18y = 0 \] Bước 9: Chuyển 18y sang vế phải: \[ x(18 + y) = -18y \] Bước 10: Chia cả hai vế cho (18 + y): \[ x = \frac{-18y}{18 + y} \] Vậy, giá trị của x là: \[ x = \frac{-18y}{18 + y} \] Đáp số: \( x = \frac{-18y}{18 + y} \) Bài 6: Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức có giá trị nhỏ nhất, chúng ta sẽ lần lượt xét từng biểu thức \( A \), \( B \), và \( D \). Biểu thức \( A = \frac{1}{x - 3} \) 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): \( x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \) 2. Xét giá trị của \( A \): - Khi \( x \) là số nguyên lớn hơn 3, \( x - 3 \) là số dương và \( \frac{1}{x - 3} \) là số dương nhỏ dần khi \( x \) tăng lên. - Khi \( x \) là số nguyên nhỏ hơn 3, \( x - 3 \) là số âm và \( \frac{1}{x - 3} \) là số âm lớn dần khi \( x \) giảm xuống. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất: - Khi \( x = 4 \), \( A = \frac{1}{4 - 3} = 1 \) - Khi \( x = 2 \), \( A = \frac{1}{2 - 3} = -1 \) Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \(-1\) khi \( x = 2 \). Biểu thức \( B = \frac{7 - x}{x - 5} \) 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): \( x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \) 2. Xét giá trị của \( B \): - Khi \( x \) là số nguyên lớn hơn 5, \( x - 5 \) là số dương và \( 7 - x \) là số âm, do đó \( B \) là số âm. - Khi \( x \) là số nguyên nhỏ hơn 5, \( x - 5 \) là số âm và \( 7 - x \) là số dương, do đó \( B \) là số âm. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất: - Khi \( x = 6 \), \( B = \frac{7 - 6}{6 - 5} = 1 \) - Khi \( x = 4 \), \( B = \frac{7 - 4}{4 - 5} = -3 \) Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \(-3\) khi \( x = 4 \). Biểu thức \( D = \frac{5x - 19}{x - 4} \) 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): \( x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \) 2. Xét giá trị của \( D \): - Khi \( x \) là số nguyên lớn hơn 4, \( x - 4 \) là số dương và \( 5x - 19 \) là số dương, do đó \( D \) là số dương. - Khi \( x \) là số nguyên nhỏ hơn 4, \( x - 4 \) là số âm và \( 5x - 19 \) là số âm, do đó \( D \) là số dương. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất: - Khi \( x = 5 \), \( D = \frac{5 \cdot 5 - 19}{5 - 4} = 6 \) - Khi \( x = 3 \), \( D = \frac{5 \cdot 3 - 19}{3 - 4} = 4 \) Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( D \) là \( 4 \) khi \( x = 3 \). Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \(-1\) khi \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \(-3\) khi \( x = 4 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( D \) là \( 4 \) khi \( x = 3 \).