Nznxnmsnsmsnsn

Ví dụ 2: a. $\int(x^2-3x+\frac{1}{x})dx$ Ta tính từng nguyên hàm riêng lẻ: \[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1, \] \[ \int -3x dx = -\frac{3x^2}{2} + C_2, \] \[ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_3. \] Vậy nguyên hàm tổng là: \[ \int(x^2-3x+\frac{1}{x})dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C, \] trong đó $C = C_1 + C_2 + C_3$ là hằng số tích phân. b. $\int\frac{2x^4+3}{x^2}dx$ Ta phân tích phân thức: \[ \frac{2x^4+3}{x^2} = 2x^2 + \frac{3}{x^2}. \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int 2x^2 dx = \frac{2x^3}{3} + C_1, \] \[ \int \frac{3}{x^2} dx = 3 \int x^{-2} dx = 3 \left( -\frac{1}{x} \right) + C_2 = -\frac{3}{x} + C_2. \] Vậy nguyên hàm tổng là: \[ \int\frac{2x^4+3}{x^2}dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{3}{x} + C, \] trong đó $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. c. $\int\frac{x-1}{x^2}dx$ Ta phân tích phân thức: \[ \frac{x-1}{x^2} = \frac{x}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}. \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_1, \] \[ \int -\frac{1}{x^2} dx = -\int x^{-2} dx = -\left( -\frac{1}{x} \right) + C_2 = \frac{1}{x} + C_2. \] Vậy nguyên hàm tổng là: \[ \int\frac{x-1}{x^2}dx = \ln |x| + \frac{1}{x} + C, \] trong đó $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. d. $\int\frac{(x^4+4)^2}{x^2}dx$ Ta mở rộng bình phương: \[ (x^4+4)^2 = x^8 + 8x^4 + 16. \] Phân tích phân thức: \[ \frac{x^8 + 8x^4 + 16}{x^2} = x^6 + 8x^2 + \frac{16}{x^2}. \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int x^6 dx = \frac{x^7}{7} + C_1, \] \[ \int 8x^2 dx = 8 \cdot \frac{x^3}{3} + C_2 = \frac{8x^3}{3} + C_2, \] \[ \int \frac{16}{x^2} dx = 16 \int x^{-2} dx = 16 \left( -\frac{1}{x} \right) + C_3 = -\frac{16}{x} + C_3. \] Vậy nguyên hàm tổng là: \[ \int\frac{(x^4+4)^2}{x^2}dx = \frac{x^7}{7} + \frac{8x^3}{3} - \frac{16}{x} + C, \] trong đó $C = C_1 + C_2 + C_3$ là hằng số tích phân.