Trong không gian Oxyz, cho 4(1; -2; 2), B(-5; 6; 4) và C(0; 1; -2). a) Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tính số đo các góc của tam giác c) Tính chu vi tam giác. d) Tính diện tích tam giác. e) Tìm...

a) Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC: Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] \[ G\left(\frac{1 + (-5) + 0}{3}, \frac{-2 + 6 + 1}{3}, \frac{2 + 4 + (-2)}{3}\right) \] \[ G\left(\frac{-4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{4}{3}\right) \] b) Tính số đo các góc của tam giác: - Tính độ dài các cạnh: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (6 + 2)^2 + (4 - 2)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 2^2} \] \[ AB = \sqrt{36 + 64 + 4} \] \[ AB = \sqrt{104} \] \[ AB = 2\sqrt{26} \] \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2} \] \[ BC = \sqrt{(0 + 5)^2 + (1 - 6)^2 + (-2 - 4)^2} \] \[ BC = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + (-6)^2} \] \[ BC = \sqrt{25 + 25 + 36} \] \[ BC = \sqrt{86} \] \[ CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2} \] \[ CA = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 - 1)^2 + (2 + 2)^2} \] \[ CA = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 4^2} \] \[ CA = \sqrt{1 + 9 + 16} \] \[ CA = \sqrt{26} \] - Tính cos của các góc: \[ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] \[ \cos A = \frac{(2\sqrt{26})^2 + (\sqrt{26})^2 - (\sqrt{86})^2}{2 \cdot 2\sqrt{26} \cdot \sqrt{26}} \] \[ \cos A = \frac{104 + 26 - 86}{2 \cdot 2 \cdot 26} \] \[ \cos A = \frac{44}{104} \] \[ \cos A = \frac{11}{26} \] \[ \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \] \[ \cos B = \frac{(2\sqrt{26})^2 + (\sqrt{86})^2 - (\sqrt{26})^2}{2 \cdot 2\sqrt{26} \cdot \sqrt{86}} \] \[ \cos B = \frac{104 + 86 - 26}{2 \cdot 2\sqrt{26} \cdot \sqrt{86}} \] \[ \cos B = \frac{164}{2 \cdot 2\sqrt{26} \cdot \sqrt{86}} \] \[ \cos B = \frac{82}{2\sqrt{26} \cdot \sqrt{86}} \] \[ \cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} \] \[ \cos C = \frac{(\sqrt{26})^2 + (\sqrt{86})^2 - (2\sqrt{26})^2}{2 \cdot \sqrt{26} \cdot \sqrt{86}} \] \[ \cos C = \frac{26 + 86 - 104}{2 \cdot \sqrt{26} \cdot \sqrt{86}} \] \[ \cos C = \frac{8}{2 \cdot \sqrt{26} \cdot \sqrt{86}} \] \[ \cos C = \frac{4}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{86}} \] c) Tính chu vi tam giác: \[ P = AB + BC + CA \] \[ P = 2\sqrt{26} + \sqrt{86} + \sqrt{26} \] \[ P = 3\sqrt{26} + \sqrt{86} \] d) Tính diện tích tam giác: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \] \[ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} \] \[ \sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{11}{26}\right)^2} \] \[ \sin A = \sqrt{\frac{675}{676}} \] \[ \sin A = \frac{15\sqrt{3}}{26} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{26} \cdot \sqrt{26} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{26} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 26 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{26} \] \[ S = 15\sqrt{3} \] e) Tìm tọa độ đỉnh D sao cho ABCD là hình bình hành: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] \[ (x_D - x_A, y_D - y_A, z_D - z_A) = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) \] \[ (x_D - 1, y_D + 2, z_D - 2) = (0 + 5, 1 - 6, -2 - 4) \] \[ (x_D - 1, y_D + 2, z_D - 2) = (5, -5, -6) \] \[ x_D - 1 = 5 \Rightarrow x_D = 6 \] \[ y_D + 2 = -5 \Rightarrow y_D = -7 \] \[ z_D - 2 = -6 \Rightarrow z_D = -4 \] Tọa độ đỉnh D là \( D(6, -7, -4) \).