giải các câu giúp mình với nhaaaaaa

Câu 1. a) Mệnh đề "Dãy số đã cho là không phải cấp số cộng", Đúng, Sai Lập luận: Ta thấy các số hạng liên tiếp trong dãy số đã cho đều cách nhau một khoảng cách là 3. Cụ thể: 2 - (-1) = 3 5 - 2 = 3 8 - 5 = 3 ... Như vậy, dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai \(d = 3\). Do đó, mệnh đề này là sai. b) Số hạng \(u_1 = -1\) Lập luận: Số hạng đầu tiên của dãy số là -1, nên \(u_1 = -1\). Mệnh đề này là đúng. c) Nếu dãy số đã cho là một cấp số cộng thì công sai của cấp số cộng là \(d = 2\) Lập luận: Như đã chứng minh ở phần a), công sai của dãy số là \(d = 3\), không phải \(d = 2\). Do đó, mệnh đề này là sai. d) Tổng tất cả số hạng của dãy số bằng 56 Lập luận: Ta tính tổng của dãy số: \(S = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n\) \(S = -1 + 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17\) \(S = (-1) + 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17\) \(S = 56\) Do đó, mệnh đề này là đúng. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 2. a) Ta có: $\lim_{x\to 2} g(x) = \lim_{x\to 2} \frac{2}{x-1} = \frac{2}{2-1} = 2$ $g(2) = \frac{2}{2-1} = 2$ Vậy $\lim_{x\to 2} g(x) = g(2)$ nên hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm $x_0 = 2$. Mệnh đề này ĐÚNG. b) Ta có: $\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x\to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$ Vậy $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$. Mệnh đề này ĐÚNG. c) Ta đã biết $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$ và $f(2) = 4,5$. Vì $\lim_{x\to 2} f(x) \neq f(2)$ nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm $x_0 = 2$. Mệnh đề này SAI. d) Ta có: $\lim_{x\to 2} y = \lim_{x\to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to 2} f(x)}{\lim_{x\to 2} g(x)} = \frac{4}{2} = 2$ $y(2) = \frac{f(2)}{g(2)} = \frac{4,5}{2} = 2,25$ Vì $\lim_{x\to 2} y \neq y(2)$ nên hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ không liên tục tại điểm $x_0 = 2$. Mệnh đề này SAI. Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 1. Để phương trình $\sqrt{3}\cos x + m - 1 = 0$ có nghiệm, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho phương trình này có nghiệm. Bước 1: Xác định điều kiện của $\cos x$ - Biết rằng $\cos x$ luôn nằm trong khoảng $[-1, 1]$, tức là $-1 \leq \cos x \leq 1$. Bước 2: Biến đổi phương trình - Ta có phương trình $\sqrt{3}\cos x + m - 1 = 0$. - Biến đổi phương trình này thành $\sqrt{3}\cos x = 1 - m$. Bước 3: Xác định điều kiện của $1 - m$ - Để phương trình có nghiệm, $\sqrt{3}\cos x$ phải nằm trong khoảng $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$. - Do đó, $1 - m$ cũng phải nằm trong khoảng $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$. Bước 4: Tìm điều kiện của $m$ - Ta có $-\sqrt{3} \leq 1 - m \leq \sqrt{3}$. - Biến đổi bất đẳng thức này: - $-\sqrt{3} \leq 1 - m$ suy ra $m \leq 1 + \sqrt{3}$. - $1 - m \leq \sqrt{3}$ suy ra $m \geq 1 - \sqrt{3}$. Bước 5: Kết luận giá trị nguyên của $m$ - Ta có $1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3}$. - Biết rằng $\sqrt{3} \approx 1.732$, nên $1 - \sqrt{3} \approx -0.732$ và $1 + \sqrt{3} \approx 2.732$. - Các giá trị nguyên của $m$ nằm trong khoảng $[-0.732, 2.732]$ là $m = 0, 1, 2$. Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\sqrt{3}\cos x + m - 1 = 0$ có nghiệm. Câu 2. Để tính số hạng thứ hai \( u_2 \) của cấp số nhân, ta cần biết số hạng đầu tiên \( u_1 \) và công bội \( q \). Bước 1: Tìm số hạng đầu tiên \( u_1 \) - Ta biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \( S_n = 5^n - 1 \). - Tổng của 1 số hạng đầu tiên (tức là \( u_1 \)) là \( S_1 \): \[ S_1 = 5^1 - 1 = 5 - 1 = 4 \] Do đó, \( u_1 = 4 \). Bước 2: Tìm công bội \( q \) - Tổng của 2 số hạng đầu tiên là \( S_2 \): \[ S_2 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24 \] - Số hạng thứ hai \( u_2 \) sẽ là: \[ u_2 = S_2 - u_1 = 24 - 4 = 20 \] Bước 3: Kiểm tra công bội \( q \) - Công bội \( q \) của cấp số nhân là: \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{20}{4} = 5 \] Vậy số hạng thứ hai \( u_2 \) của cấp số nhân là 20. Đáp số: \( u_2 = 20 \). Câu 3. Để tìm giới hạn của hàm số $\lim_{x\rightarrow2}\frac{2-\sqrt{x+2}}{x^2-3x+2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức $\sqrt{x+2}$ có nghĩa khi $x + 2 \geq 0$, tức là $x \geq -2$. - Biểu thức $x^2 - 3x + 2$ không được phép bằng 0, vì nó ở mẫu số. Ta giải phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$: \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 2 \] Do đó, ĐKXĐ là $x \geq -2$ và $x \neq 1, 2$. Bước 2: Rút gọn biểu thức - Nhân tử liên hợp ở tử số để loại bỏ căn thức: \[ \frac{2-\sqrt{x+2}}{x^2-3x+2} = \frac{(2-\sqrt{x+2})(2+\sqrt{x+2})}{(x^2-3x+2)(2+\sqrt{x+2})} \] \[ = \frac{4 - (x + 2)}{(x - 1)(x - 2)(2 + \sqrt{x + 2})} \] \[ = \frac{2 - x}{(x - 1)(x - 2)(2 + \sqrt{x + 2})} \] \[ = \frac{-(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)(2 + \sqrt{x + 2})} \] \[ = \frac{-1}{(x - 1)(2 + \sqrt{x + 2})} \] Bước 3: Tìm giới hạn khi $x \rightarrow 2$ \[ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{-1}{(x - 1)(2 + \sqrt{x + 2})} = \frac{-1}{(2 - 1)(2 + \sqrt{2 + 2})} \] \[ = \frac{-1}{1 \cdot (2 + 2)} \] \[ = \frac{-1}{4} \] Vậy giới hạn của hàm số là $-\frac{1}{4}$. Bước 4: Tính $2a + 3b$ - Trong phân số $-\frac{1}{4}$, ta có $a = 1$ và $b = 4$. - Do đó, $2a + 3b = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14$. Đáp số: $2a + 3b = 14$. Câu 4. Để tìm mốt của mẫu số liệu, chúng ta cần xác định khoảng có tần số lớn nhất. Bảng tần số: - Khoảng $[9,5;12,5)$: 3 học sinh - Khoảng $[12,5;15,5)$: 12 học sinh - Khoảng $[15,5;18,5)$: 15 học sinh - Khoảng $[18,5;21,5)$: 21 học sinh - Khoảng $[21,5;24,5)$: 2 học sinh Trong các khoảng trên, khoảng có tần số lớn nhất là $[18,5;21,5)$ với 21 học sinh. Do đó, mốt của mẫu số liệu này là khoảng $[18,5;21,5)$. Kết quả làm tròn đến hàng phần chục, mốt của mẫu số liệu là khoảng từ 18,5 đến 21,5 phút. Đáp số: Mốt của mẫu số liệu là khoảng từ 18,5 đến 21,5 phút.