help me please 3) Cho pt $x^2-2x-4m-1=0$,$a)~T/m~T~B=\frac1{x_1}+\frac1{x_2}$ theo m,$b)~mđể~B=\frac12$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình bậc hai $x^2 - 2x - 4m - 1 = 0$ luôn có nghiệm vì nó là phương trình bậc hai tổng quát. Do đó, không cần đặt điều kiện xác định riêng biệt.

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình
Phương trình $x^2 - 2x - 4m - 1 = 0$ có dạng tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = 1$, $b = -2$, và $c = -4m - 1$. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Áp dụng vào phương trình của chúng ta:
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4m - 1)}}{2 \cdot 1} $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16m + 4}}{2} $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{16m + 8}}{2} $$
$$ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{4m + 2}}{2} $$
$$ x = 1 \pm \sqrt{4m + 2} $$

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$ x_1 = 1 + \sqrt{4m + 2} $$
$$ x_2 = 1 - \sqrt{4m + 2} $$

Bước 3: Tính biểu thức $B = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$
Ta có:
$$ B = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} $$

Tính tổng và tích của các nghiệm:
$$ x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{4m + 2}) + (1 - \sqrt{4m + 2}) = 2 $$
$$ x_1 x_2 = (1 + \sqrt{4m + 2})(1 - \sqrt{4m + 2}) = 1 - (4m + 2) = -4m - 1 $$

Do đó:
$$ B = \frac{2}{-4m - 1} $$

Bước 4: Tìm giá trị của $m$ để $B = \frac{1}{2}$
Ta có:
$$ \frac{2}{-4m - 1} = \frac{1}{2} $$

Bằng cách nhân cả hai vế với $-4m - 1$ và 2, ta có:
$$ 2 \cdot 2 = -4m - 1 $$
$$ 4 = -4m - 1 $$
$$ 4 + 1 = -4m $$
$$ 5 = -4m $$
$$ m = -\frac{5}{4} $$

Đáp số:
a) Biểu thức $B = \frac{2}{-4m - 1}$.
b) Giá trị của $m$ để $B = \frac{1}{2}$ là $m = -\frac{5}{4}$.