Hình ảnh trên

Câu 1. Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=-6$ và công sai $d=5$. Ta cần tìm số hạng thứ 32 của cấp số cộng này. Công thức để tính số hạng thứ n của cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức trên để tìm $u_{32}$: \[ u_{32} = -6 + (32-1) \times 5 \] \[ u_{32} = -6 + 31 \times 5 \] \[ u_{32} = -6 + 155 \] \[ u_{32} = 149 \] Vậy số hạng thứ 32 của cấp số cộng là 149. Đáp án đúng là: B. $u_{32} = 149$. Câu 2. Để tìm tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng nhân viên: Tổng số nhân viên = 5 + 5 + 12 + 2 + 6 + 12 = 42. 2. Xác định vị trí của các tứ phân vị: - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở vị trí $\frac{42}{4} = 10,5$ (gần với 11). - Tứ phân vị thứ hai (Q2) nằm ở vị trí $\frac{42}{2} = 21$. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) nằm ở vị trí $\frac{3 \times 42}{4} = 31,5$ (gần với 32). 3. Xác định khoảng chứa các tứ phân vị: - Q1 nằm trong khoảng [11 ; 16) vì tổng số nhân viên từ [6 ; 11) là 5, còn lại 6 nhân viên nữa để đến 11. - Q2 nằm trong khoảng [16 ; 21) vì tổng số nhân viên từ [6 ; 11) và [11 ; 16) là 10, còn lại 11 nhân viên nữa để đến 21. - Q3 nằm trong khoảng [26 ; 31) vì tổng số nhân viên từ [6 ; 11), [11 ; 16), [16 ; 21), và [21 ; 26) là 24, còn lại 8 nhân viên nữa để đến 32. 4. Áp dụng công thức tính tứ phân vị: - Công thức chung: $Q_k = x_{k-1} + \left( \frac{\frac{k \times n}{4} - F_{k-1}}{f_k} \right) \times d$, trong đó: - $x_{k-1}$ là giới hạn dưới của khoảng chứa $Q_k$, - $F_{k-1}$ là tần số tích lũy của các khoảng trước khoảng chứa $Q_k$, - $f_k$ là tần số của khoảng chứa $Q_k$, - $d$ là khoảng cách giữa hai giới hạn của khoảng chứa $Q_k$. - Q1: $Q_1 = 11 + \left( \frac{11 - 5}{12} \right) \times 5 = 11 + \left( \frac{6}{12} \right) \times 5 = 11 + 2,5 = 13,5$. - Q2: $Q_2 = 16 + \left( \frac{21 - 15}{12} \right) \times 5 = 16 + \left( \frac{6}{12} \right) \times 5 = 16 + 2,5 = 18,5$. - Q3: $Q_3 = 26 + \left( \frac{32 - 24}{8} \right) \times 5 = 26 + \left( \frac{8}{8} \right) \times 5 = 26 + 5 = 31$. Như vậy, các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: - Q1 = 13,5 - Q2 = 18,5 - Q3 = 31 Do đó, đáp án đúng là: A. 20,58 (không đúng) B. 16,21 (không đúng) C. 17,21 (không đúng) D. 31,62 (không đúng) Vậy đáp án chính xác là: - Q1 = 13,5 - Q2 = 18,5 - Q3 = 31 Câu 3. Để tính đạo hàm của hàm số \( y = 3x^4 + x^3 + 3x^2 - 4x + 3 \), ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm của lũy thừa. Công thức đạo hàm của tổng: \[ (u + v)' = u' + v' \] Công thức đạo hàm của lũy thừa: \[ (x^n)' = nx^{n-1} \] Áp dụng các công thức trên, ta tính đạo hàm từng hạng tử của hàm số: 1. Đạo hàm của \( 3x^4 \): \[ (3x^4)' = 3 \cdot 4x^{4-1} = 12x^3 \] 2. Đạo hàm của \( x^3 \): \[ (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2 \] 3. Đạo hàm của \( 3x^2 \): \[ (3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x \] 4. Đạo hàm của \( -4x \): \[ (-4x)' = -4 \] 5. Đạo hàm của hằng số 3: \[ (3)' = 0 \] Gộp tất cả các đạo hàm lại, ta có: \[ y' = 12x^3 + 3x^2 + 6x - 4 \] Vậy đáp án đúng là: D. \( y' = 12x^3 + 3x^2 + 6x - 4 \) Đáp số: D. \( y' = 12x^3 + 3x^2 + 6x - 4 \) Câu 4. Để tính xác suất của biến cố \(AB\) (tức là cả hai biến cố \(A\) và \(B\) cùng xảy ra), ta sử dụng công thức xác suất của biến cố giao giữa hai biến cố độc lập: \[ P(AB) = P(A) \times P(B) \] Biết rằng: \[ P(A) = 0,91 \] \[ P(B) = 0,25 \] Áp dụng công thức trên, ta có: \[ P(AB) = 0,91 \times 0,25 \] Thực hiện phép nhân: \[ 0,91 \times 0,25 = 0,2275 \] Làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn: \[ 0,2275 \approx 0,228 \] Vậy xác suất của biến cố \(AB\) là \(0,228\). Đáp án đúng là: B. 0,228. Câu 5. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần dựa vào đồ thị của đạo hàm \( P'(x) \). - Nếu \( P'(x) > 0 \) trên một khoảng thì hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng đó. - Nếu \( P'(x) < 0 \) trên một khoảng thì hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng đó. Dựa vào đồ thị của \( P'(x) \): - Trên khoảng \( (-5, -3) \), đồ thị của \( P'(x) \) nằm phía trên trục hoành, tức là \( P'(x) > 0 \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng này. - Trên khoảng \( (-\infty, -5) \), đồ thị của \( P'(x) \) nằm phía dưới trục hoành, tức là \( P'(x) < 0 \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng \( (-3, -1) \), đồ thị của \( P'(x) \) nằm phía dưới trục hoành, tức là \( P'(x) < 0 \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng \( (-3, +\infty) \), đồ thị của \( P'(x) \) nằm phía dưới trục hoành, tức là \( P'(x) < 0 \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng này. Vậy, hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-5, -3) \). Đáp án đúng là: A. \( (-5, -3) \). Câu 6. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \frac{6x + 6}{x + 2} \) trên đoạn \([-1; 4]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{6x + 6}{x + 2} \right)' = \frac{(6x + 6)'(x + 2) - (6x + 6)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{6(x + 2) - (6x + 6)}{(x + 2)^2} = \frac{6x + 12 - 6x - 6}{(x + 2)^2} = \frac{6}{(x + 2)^2}. \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: \[ y' = \frac{6}{(x + 2)^2}. \] Vì \((x + 2)^2 > 0\) với mọi \(x \neq -2\), nên \(y' > 0\) với mọi \(x \neq -2\). Điều này cho thấy hàm số \(y\) là hàm số đồng biến trên khoảng \((-1, 4)\). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn \([-1, 4]\): - Tại \(x = -1\): \[ y(-1) = \frac{6(-1) + 6}{-1 + 2} = \frac{-6 + 6}{1} = 0. \] - Tại \(x = 4\): \[ y(4) = \frac{6(4) + 6}{4 + 2} = \frac{24 + 6}{6} = \frac{30}{6} = 5. \] 4. So sánh các giá trị đã tính: - \(y(-1) = 0\) - \(y(4) = 5\) Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{6x + 6}{x + 2}\) trên đoạn \([-1, 4]\) là 5, đạt được khi \(x = 4\). Đáp án: A. \(M = 5.\) Câu 7. Để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{4x - 5}{4 - 5x} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \frac{4x - 5}{4 - 5x} \) có mẫu số là \( 4 - 5x \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ 4 - 5x \neq 0 \implies x \neq \frac{4}{5} \] Vậy ĐKXĐ là \( x \neq \frac{4}{5} \). 2. Tìm đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{4x - 5}{4 - 5x} \) được xác định bằng cách tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4x - 5}{4 - 5x} \] Ta chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{4x - 5}{x}}{\frac{4 - 5x}{x}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4 - \frac{5}{x}}{\frac{4}{x} - 5} \] Khi \( x \to \pm \infty \), các phân số \( \frac{5}{x} \) và \( \frac{4}{x} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4 - 0}{0 - 5} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5} \] Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = -\frac{4}{5} \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( y = -\frac{4}{5} \). Câu 8. Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị đã cho hay không. 1. Kiểm tra điểm giao với trục y: - Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, 3). Do đó, giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) phải là 3. 2. Kiểm tra các lựa chọn: - A. \( y = x^3 + 4x^2 \) - Tại \( x = 0 \): \( y = 0^3 + 4 \cdot 0^2 = 0 \). Không thỏa mãn vì không cắt trục y tại điểm (0, 3). - B. \( y = -x^3 - 4x^2 + 4x \) - Tại \( x = 0 \): \( y = -0^3 - 4 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 = 0 \). Không thỏa mãn vì không cắt trục y tại điểm (0, 3). - C. \( y = x^3 - 4x^2 + 4x \) - Tại \( x = 0 \): \( y = 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 = 0 \). Không thỏa mãn vì không cắt trục y tại điểm (0, 3). - D. \( y = x^3 - 4x^2 + 4x + 3 \) - Tại \( x = 0 \): \( y = 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + 3 = 3 \). Thỏa mãn vì cắt trục y tại điểm (0, 3). 3. Kiểm tra các đặc điểm khác của đồ thị: - Đồ thị có dạng uốn cong và có hai điểm cực trị. Chúng ta sẽ kiểm tra đạo hàm của hàm số để xác nhận các điểm cực trị. - Đạo hàm của \( y = x^3 - 4x^2 + 4x + 3 \): \[ y' = 3x^2 - 8x + 4 \] - Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 8x + 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6} \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2}{3} \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng: - Khi \( x < \frac{2}{3} \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( \frac{2}{3} < x < 2 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > 2 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng). - Kết luận: Đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 4x^2 + 4x + 3 \) có hai điểm cực trị tại \( x = \frac{2}{3} \) và \( x = 2 \), và cắt trục y tại điểm (0, 3). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D. \ y = x^3 - 4x^2 + 4x + 3} \]