trả lời câu hỏi

Câu 1. Giả sử Grayson đã di chuyển x dặm bằng taxi. Tiền taxi của Grayson từ sân bay về khách sạn của anh ta là $32,50, bao gồm phí đón khách là $2,50 và phí cho mỗi dặm di chuyển là $2,00. Ta có phương trình: \[ 2,50 + 2,00 \times x = 32,50 \] Trừ 2,50 từ cả hai vế của phương trình: \[ 2,00 \times x = 32,50 - 2,50 \] \[ 2,00 \times x = 30,00 \] Chia cả hai vế của phương trình cho 2,00: \[ x = \frac{30,00}{2,00} \] \[ x = 15 \] Vậy Grayson đã di chuyển 15 dặm bằng taxi. Câu 2. Trước tiên, ta giả sử rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol, do đó ta có thể viết phương trình của nó dưới dạng: \[ h = at^2 + bt + c \] Biết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1m, tức là khi \( t = 0 \), thì \( h = 1 \). Do đó: \[ 1 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ c = 1 \] Sau đó, ta biết rằng sau 1 giây, quả bóng đạt độ cao 5m, tức là khi \( t = 1 \), thì \( h = 5 \). Do đó: \[ 5 = a(1)^2 + b(1) + 1 \] \[ 5 = a + b + 1 \] \[ a + b = 4 \quad \text{(1)} \] Cuối cùng, ta biết rằng sau 2 giây, quả bóng đạt độ cao 8m, tức là khi \( t = 2 \), thì \( h = 8 \). Do đó: \[ 8 = a(2)^2 + b(2) + 1 \] \[ 8 = 4a + 2b + 1 \] \[ 4a + 2b = 7 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + b = 4 \\ 4a + 2b = 7 \end{cases} \] Ta nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 2a + 2b = 8 \quad \text{(3)} \] Tiếp theo, ta trừ phương trình (2) từ phương trình (3): \[ (2a + 2b) - (4a + 2b) = 8 - 7 \] \[ -2a = 1 \] \[ a = -\frac{1}{2} \] Thay \( a = -\frac{1}{2} \) vào phương trình (1): \[ -\frac{1}{2} + b = 4 \] \[ b = 4 + \frac{1}{2} \] \[ b = \frac{9}{2} \] Do đó, phương trình của quỹ đạo quả bóng là: \[ h = -\frac{1}{2}t^2 + \frac{9}{2}t + 1 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( h \), ta cần tìm đỉnh của parabol. Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) nằm tại \( t = -\frac{b}{2a} \). Trong trường hợp này: \[ t = -\frac{\frac{9}{2}}{2 \times -\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{2}}{1} = \frac{9}{2} = 4.5 \] Thay \( t = 4.5 \) vào phương trình của quỹ đạo: \[ h = -\frac{1}{2}(4.5)^2 + \frac{9}{2}(4.5) + 1 \] \[ h = -\frac{1}{2}(20.25) + \frac{9}{2}(4.5) + 1 \] \[ h = -10.125 + 20.25 + 1 \] \[ h = 11.125 \] Vậy, quả bóng bay cao nhất khoảng 11.13 mét (tính gần đúng đến hàng phần trăm). Câu 3. Để tìm vận tốc mới của máy bay sau khi gặp gió, ta sẽ sử dụng quy tắc hình bình hành để cộng hai vectơ vận tốc của máy bay và gió. 1. Xác định các vectơ: - Vectơ vận tốc của máy bay ban đầu: $\vec{v}_{mb} = 700$ km/h, hướng từ đông sang tây. - Vectơ vận tốc của gió: $\vec{v}_{gio} = 40$ km/h, hướng từ đông bắc sang tây nam. 2. Phân tích vectơ gió thành các thành phần: - Hướng đông bắc sang tây nam tạo với phương thẳng đứng (hướng bắc) một góc 45°. - Thành phần vận tốc của gió theo phương đông-tây: \[ v_{gio, x} = 40 \cos(45^\circ) = 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2} \approx 28.28 \text{ km/h} \] - Thành phần vận tốc của gió theo phương bắc-nam: \[ v_{gio, y} = 40 \sin(45^\circ) = 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2} \approx 28.28 \text{ km/h} \] 3. Tính tổng các thành phần vận tốc: - Thành phần vận tốc theo phương đông-tây: \[ v_x = 700 + 28.28 = 728.28 \text{ km/h} \] - Thành phần vận tốc theo phương bắc-nam: \[ v_y = 28.28 \text{ km/h} \] 4. Tính vận tốc mới của máy bay: - Vận tốc mới của máy bay là: \[ v_{mb, moi} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(728.28)^2 + (28.28)^2} \approx \sqrt{530400 + 800} \approx \sqrt{531200} \approx 728.7 \text{ km/h} \] Vậy vận tốc mới của máy bay sau khi gặp gió là khoảng 729 km/h. Câu 4. Giả sử có $x$ người ($x > 20$) thì giá tiền cho mỗi người là $30 - (x - 20)$ USD. Doanh thu của công ty là: $(30 - (x - 20)) \times x = (50 - x) \times x$ Công ty có lãi khi doanh thu lớn hơn chi phí: $(50 - x) \times x > 400$ $\Rightarrow 50x - x^2 > 400$ $\Rightarrow x^2 - 50x + 400 < 0$ Ta giải phương trình bậc hai: $x^2 - 50x + 400 = 0$ Áp dụng công thức nghiệm: $x = \frac{50 \pm \sqrt{50^2 - 4 \times 400}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1600}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{50 \pm 30}{2}$ $\Rightarrow x_1 = 40; x_2 = 10$ Phương trình bậc hai này có hai nghiệm là $x_1 = 40$ và $x_2 = 10$. Do đó, bất đẳng thức $x^2 - 50x + 400 < 0$ đúng trong khoảng $(10, 40)$. Tuy nhiên, vì giả sử ban đầu là $x > 20$, nên ta chỉ quan tâm đến khoảng $(20, 40)$. Vậy, để công ty có lãi, số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là 39 người. Đáp số: 39 người.