Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, người ta lập hệ toạ độ có gốc toạ độ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục hướng...

Trước hết, ta xác định vị trí ban đầu của máy bay A và máy bay B. - Máy bay A bay với tốc độ 840 km/h về phía nam. - Sau nửa giờ, máy bay B bắt đầu bay với tốc độ 960 km/h về phía nam, ở độ cao thấp hơn máy bay A 50 km. Sau nửa giờ, máy bay A đã bay được: \[ 840 \times 0.5 = 420 \text{ km} \] Khi máy bay B bắt đầu bay, khoảng cách giữa máy bay A và máy bay B trên mặt đất là 420 km. Khoảng cách thẳng đứng giữa chúng là 50 km. Ta sẽ tính khoảng cách giữa hai máy bay theo thời gian. Gọi thời gian máy bay B bay là \( t \) giờ. - Khoảng cách máy bay A đã bay kể từ khi máy bay B bắt đầu bay là: \[ 840t + 420 \text{ km} \] - Khoảng cách máy bay B đã bay là: \[ 960t \text{ km} \] Khoảng cách giữa hai máy bay trên mặt đất là: \[ |840t + 420 - 960t| = |420 - 120t| \text{ km} \] Khoảng cách thẳng đứng giữa chúng vẫn là 50 km. Khoảng cách giữa hai máy bay theo công thức Pythagoras là: \[ d = \sqrt{(420 - 120t)^2 + 50^2} \] Để khoảng cách này ngắn nhất, ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho \( d \) nhỏ nhất. Ta sẽ tìm đạo hàm của \( d \) theo \( t \) và đặt nó bằng 0. \[ d = \sqrt{(420 - 120t)^2 + 2500} \] Đạo hàm của \( d \): \[ \frac{d}{dt} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2(420 - 120t)(-120)}{\sqrt{(420 - 120t)^2 + 2500}} = \frac{-120(420 - 120t)}{\sqrt{(420 - 120t)^2 + 2500}} \] Đặt đạo hàm bằng 0: \[ \frac{-120(420 - 120t)}{\sqrt{(420 - 120t)^2 + 2500}} = 0 \] \[ -120(420 - 120t) = 0 \] \[ 420 - 120t = 0 \] \[ t = \frac{420}{120} = 3.5 \text{ giờ} \] Vậy thời gian máy bay B bay trong khoảng thời gian 6 giờ tính từ lúc máy bay B bay theo hướng nam để khoảng cách giữa hai máy bay A và B ngắn nhất là 3.5 giờ.