Một gia đình ở quê muốn làm một sân chơi hình chữ nhật cho trẻ em có diện tích 200m ^ 2 và phải rào lại bằng một số vật liệu. Chi phí làm rào cho mỗi mét chiều dài là 300 nghìn đồng. mỗi mét chiều rộng là 600 nghìn đồng. Hỏi gia đình đó nên chọn làm sân có chiều dài và chiều rộng như thế nào để chi phí là ít nhất?

Question

Accepted Answer

Gọi chiều dài và chiều rộng của sân chơi là x và y (m, x > 0, y > 0).

Diện tích sân chơi là 200m², do đó ta có:

$$ xy = 200 $$

Chi phí làm rào cho mỗi mét chiều dài là 300 nghìn đồng, mỗi mét chiều rộng là 600 nghìn đồng. Vậy tổng chi phí làm rào là:

$$ C = 300(2x) + 600(2y) = 600x + 1200y $$

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ C $. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức và tìm giá trị nhỏ nhất.

Từ $ xy = 200 $, ta có:

$$ y = \frac{200}{x} $$

Thay vào biểu thức chi phí:

$$ C = 600x + 1200 \left( \frac{200}{x} \right) = 600x + \frac{240000}{x} $$

Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ C = 600x + \frac{240000}{x} $.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$ 600x + \frac{240000}{x} \geq 2 \sqrt{600x \cdot \frac{240000}{x}} = 2 \sqrt{600 \cdot 240000} = 2 \sqrt{144000000} = 2 \cdot 12000 = 24000 $$

Đẳng thức xảy ra khi:

$$ 600x = \frac{240000}{x} $$

$$ 600x^2 = 240000 $$

$$ x^2 = 400 $$

$$ x = 20 $$

Khi đó:

$$ y = \frac{200}{20} = 10 $$

Vậy, để chi phí là ít nhất, gia đình nên chọn chiều dài là 20m và chiều rộng là 10m.

Đáp số: Chiều dài: 20m, Chiều rộng: 10m.

Một gia đình ở quê muốn làm một sân chơi hình chữ nhật cho trẻ em có diện tích 200m ^ 2 và phải rào lại bằng một số vật liệu. Chi phí làm rào cho mỗi mét chiều dài là 300 nghìn đồng. mỗi mét chiều rộng...