giúp mình với

Để hàm số $y=\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3$ đạt cực đại tại $x = 3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = x^2 - 2mx + (m^2 - 4) \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ y' = 0 \] \[ x^2 - 2mx + (m^2 - 4) = 0 \] Bước 3: Thay $x = 3$ vào phương trình đạo hàm: \[ 3^2 - 2m(3) + (m^2 - 4) = 0 \] \[ 9 - 6m + m^2 - 4 = 0 \] \[ m^2 - 6m + 5 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 - 6m + 5 = 0 \] \[ (m - 1)(m - 5) = 0 \] \[ m = 1 \text{ hoặc } m = 5 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện để hàm số đạt cực đại tại $x = 3$: - Ta tính đạo hàm thứ hai của hàm số: \[ y'' = 2x - 2m \] - Thay $x = 3$ vào đạo hàm thứ hai: \[ y''(3) = 2(3) - 2m = 6 - 2m \] - Để hàm số đạt cực đại tại $x = 3$, ta cần $y''(3) < 0$: \[ 6 - 2m < 0 \] \[ 6 < 2m \] \[ m > 3 \] Do đó, trong hai giá trị $m = 1$ và $m = 5$, chỉ có $m = 5$ thỏa mãn điều kiện $m > 3$. Kết luận: Giá trị của tham số $m$ để hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ là $m = 5$. Câu 2: Để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12, chúng ta sẽ tuân thủ các quy tắc đã nêu. Dưới đây là một ví dụ về cách áp dụng các quy tắc này trong quá trình giải bài toán. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn - Tại \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = (2)^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất - Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: \( f(-2) = 0 \), \( f(-1) = 4 \), \( f(1) = 0 \), \( f(2) = 4 \). Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \).