Giúp với ạ $DH\bot OH.$,Bài 6. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Lấy C thuộc (O) ( C khác A và B). Tiếp tuyến tại A của đường,tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M .,a) Chứng minh $\Delta ABC$ vuông và $BC.BM=4R^2$,b) Gọi K là trung điểm của MA..Chứứn minh KC là tiếp tuyến của (O))..,c) Tia KC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại D . Chứng minh $MO\bot AD.$

Question

Accepted Answer

a) Xét tam giác ABC có: OC=12AB(=R) $O C = \frac{1}{2} A B (= R)$

⇒ΔABC $\Rightarrow Δ A B C$ vuông tại C (Tam giác có trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy).

Xét tam giác vuông ABM, đường cao AC có:

AB2=BC.BM $A B^{2} = B C . B M$ (hệ thức lượng)

⇒(2R)2=BC.BM⇒4R2=BC.BM $\Rightarrow {(2 R)}^{2} = B C . B M \Rightarrow 4 R^{2} = B C . B M$ .

b) Xét tam giác vuông ACM có: KC=12AM=KA=KM $K C = \frac{1}{2} A M = K A = K M$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

⇒ΔKAC $\Rightarrow Δ K A C$ cân tại A⇒ˆKAC=ˆKCA $A \Rightarrow \hat{K A C} = \hat{K C A}$ (2 góc ở đáy).

Tam giác OAC có OA=OC⇒ΔOAC $O A = O C \Rightarrow Δ O A C$ cân tại O⇒ˆOAC=ˆOCA $O \Rightarrow \hat{O A C} = \hat{O C A}$ (2 góc ở đáy).

⇒ˆOCK=ˆOCA+ˆKCA=ˆOAC+ˆKAC=ˆOAK=900 $\Rightarrow \hat{O C K} = \hat{O C A} + \hat{K C A} = \hat{O A C} + \hat{K A C} = \hat{O A K} = 90^{0}$ .

⇒KC⊥OC⇒KC $\Rightarrow K C ⊥ O C \Rightarrow K C$ là tiếp tuyến của (O) tại C.

c) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: OK, OD lần lượt là phân giác góc ˆAOC,ˆBOC $\hat{A O C}, \hat{B O C}$ .

⇒OK⊥OD $\Rightarrow O K ⊥ O D$ (phân giác của 2 góc kề bù) ⇒ΔKOD $\Rightarrow Δ K O D$ vuông tại O.

Lại có BD=CD $B D = C D$ .

⇒AM.BD=2CK.CD=2.OC2=2R2 $\Rightarrow A M . B D = 2 C K . C D = 2. O C^{2} = 2 R^{2}$ (Hệ thức lượng).

Ta có: OA.AB=R.2R=2R2 $O A . A B = R .2 R = 2 R^{2}$ .

⇒OA.AB=AM.BD $\Rightarrow O A . A B = A M . B D$ .

⇒OABD=AMAB $\Rightarrow \frac{O A}{B D} = \frac{A M}{A B}$ .

Xét tam giác OAM và tam giác DBA có:

ˆOAM=ˆDBA=900 $\hat{O A M} = \hat{D B A} = 90^{0}$ ;

OABD=AMAB(cmt) $\frac{O A}{B D} = \frac{A M}{A B} (c m t)$

⇒ΔOAM∼ΔDBA(c.g.c)⇒ˆAOM=ˆBDO $\Rightarrow Δ O A M \sim Δ D B A (c . g . c) \Rightarrow \hat{A O M} = \hat{B D O}$

Gọi I là giao điểm của MO và AD.

Xét tam giác OAI có:

ˆIAO+ˆIOA=ˆIAO+ˆAOM=ˆIAO+ˆBDO=900 $\hat{I A O} + \hat{I O A} = \hat{I A O} + \hat{A O M} = \hat{I A O} + \hat{B D O} = 90^{0}$ (do tam giác ABD vuông tại B)

⇒ΔOAI $\Rightarrow Δ O A I$ vuông tại I ⇒AI⊥OI $\Rightarrow A I ⊥ O I$ hay MO⊥AD $M O ⊥ A D$ (đpcm).