hNzjjzzjzjkxkxkxkx o Cho tam giác ABC vuông tại A biết $AB=16~cm,$ góc B bằng 30,độ, vẽ đường tròn tâm K đường kính AB cắt BC tại E.,a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm K.,b) Chứng minh: $AE^2=EC.EB.$,c) Kẻ KF vuông góc với AE (F thuộc AE). Tính độ dài KF.,-----HẾT-----

Question

Accepted Answer

a. Do $\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông tại A nên $\displaystyle AC\perp AB$ tại A
Do A thuộc đường tròn (K) đường kính AB và $\displaystyle AC\perp OA$ tại A
$\displaystyle \Rightarrow $AC là tiếp tuyến của đường tròn (K) đường kính AB tại A
b. Do E thuộc đường tròn (K) đường kính AB và $\displaystyle \widehat{AEB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AEB} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow AE\perp BE$ hay $\displaystyle AE\perp BC$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông tại A có $\displaystyle AE\perp BC$ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
$\displaystyle AE^{2} =EB imes EC$
c. Xét $\displaystyle \vartriangle ABE$ vuông tại E có
$\displaystyle \cos\widehat{ABE} =\frac{BE}{AB} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{BE}{16} \Rightarrow BE=\frac{\sqrt{3}}{2} imes 16=8\sqrt{2}$ cm
Ta có $\displaystyle KF\perp AE,\ BE\perp AE\Rightarrow KF\parallel AE$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABE$ có $\displaystyle KF\parallel AE,\ KA=KB$ (do AB là đường kính đường tròn tâm K)
$\displaystyle \Rightarrow AF=FE$
Trong $\displaystyle \vartriangle ABE$ có $\displaystyle AF=FE,\ KA=KB$
$\displaystyle \Rightarrow $KF là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle ABE$
$\displaystyle \Rightarrow KF=\frac{1}{2} BE$
Mà $\displaystyle BE=8\sqrt{2}$
$\displaystyle \Rightarrow KF=\frac{1}{2} imes 8\sqrt{2} =4\sqrt{2}$ cm