Giúp iêm vs :(( Al 0 Mon thong,Bài 3. (1,25 điểm),a) Hai bạn An và Bình cùng đứng hai đầu,bờ hồ cùng nhìn về một cây (gốc là điểm C). Biết,góc nhìn tại A của bạn An là $51^0.$ góc nhìn tại B,,của bạn Bình là $30^0$ (Hình vẽ minh họa phía,dưới) và khoảng cách từ A đến C là 224m,,khoảng cách từ B đến C là 348m. Hỏi khoảng,cách từ A đến B dài bao nhiêu mét? (làm tròn,đến mét).,b) Giải bất phương trình: $\frac{x-3}2-\frac{x+1}3\frac16$,Bài 4. (2,0 điểm),Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE (với,D thuộc (O), E thuộc (O')) và kẻ các đường kính AOB của (O), AO'C của (O'). Gọi M là giao,điểm của BD và CE.,a) Chứng minh tứ giác ODEO' là một hình thang.,b) Tính số đo góc DAE.,c) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?,d) Chứng minh: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O').,Bài 5. (0,5 điểm),Xưa kia có một vị Tế tướng nổi tiếng thông thái, lập được nhiều công trạng. Đến khi về,già Tể tướng muốn cáo quan về quê, nhà vua liền ban thưởng bằng cách đưa cho tể tướng một,đoạn dây dài 300 mét và nói: "Ngươi hãy căng sợi dây này thành một hình chữ nhật, sao cho,hai đầu dây chạm vào nhau. Khi đó, mảnh đất hình chữ nhật sẽ thuộc về ngươi". Hỏi tế tướng,sẽ căng sợi dây như thế nào để mảnh đất có diện tích lớn nhất?,----- HẾT ----

Question

Giúp iêm vs :(( Al 0 Mon thong,Bài 3. (1,25 điểm),a) Hai bạn An và Bình cùng đứng hai đầu,bờ hồ cùng nhìn về một cây (gốc là điểm C). Biết,góc nhìn tại A của bạn An là $51^0.$ góc nhìn tại B,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/2dfb64cfac7748bc90e85ac723e8a01e.jpg />,của bạn Bình là $30^0$ (Hình vẽ minh họa phía,dưới) và khoảng cách từ A đến C là 224m,,khoảng cách từ B đến C là 348m. Hỏi khoảng,cách từ A đến B dài bao nhiêu mét? (làm tròn,đến mét).,b) Giải bất phương trình: $\frac{x-3}2-\frac{x+1}3>\frac16$,Bài 4. (2,0 điểm),Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE (với,D thuộc (O), E thuộc (O')) và kẻ các đường kính AOB của (O), AO'C của (O'). Gọi M là giao,điểm của BD và CE.,a) Chứng minh tứ giác ODEO' là một hình thang.,b) Tính số đo góc DAE.,c) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?,d) Chứng minh: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O').,Bài 5. (0,5 điểm),Xưa kia có một vị Tế tướng nổi tiếng thông thái, lập được nhiều công trạng. Đến khi về,già Tể tướng muốn cáo quan về quê, nhà vua liền ban thưởng bằng cách đưa cho tể tướng một,đoạn dây dài 300 mét và nói: "Ngươi hãy căng sợi dây này thành một hình chữ nhật, sao cho,hai đầu dây chạm vào nhau. Khi đó, mảnh đất hình chữ nhật sẽ thuộc về ngươi". Hỏi tế tướng,sẽ căng sợi dây như thế nào để mảnh đất có diện tích lớn nhất?,----- HẾT ----

Accepted Answer

Bài 3.
a) Để tính khoảng cách từ A đến B, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng dựa vào góc nhìn và khoảng cách từ các điểm đến gốc.

Ta có:
- Góc nhìn tại A là $51^0$
- Góc nhìn tại B là $30^0$
- Khoảng cách từ A đến C là 224m
- Khoảng cách từ B đến C là 348m

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm dựa vào góc nhìn và khoảng cách từ các điểm đến gốc, ta có:

$$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)} $$

Trong đó, $\angle ACB = 180^0 - (51^0 + 30^0) = 99^0$

Thay các giá trị vào công thức:

$$ AB = \sqrt{224^2 + 348^2 - 2 \cdot 224 \cdot 348 \cdot \cos(99^0)} $$

Tính toán:

$$ AB = \sqrt{50176 + 121104 - 2 \cdot 224 \cdot 348 \cdot (-0.1564)} $$
$$ AB = \sqrt{171280 + 24160.896} $$
$$ AB = \sqrt{195440.896} $$
$$ AB \approx 442 \text{m} $$

Vậy khoảng cách từ A đến B là 442m.

b) Giải bất phương trình:

$$ \frac{x-3}{2} - \frac{x+1}{3} > \frac{1}{6} $$

Quy đồng mẫu số:

$$ \frac{3(x-3) - 2(x+1)}{6} > \frac{1}{6} $$

Nhân cả hai vế với 6 để loại mẫu số:

$$ 3(x-3) - 2(x+1) > 1 $$

Mở ngoặc và thu gọn:

$$ 3x - 9 - 2x - 2 > 1 $$
$$ x - 11 > 1 $$
$$ x > 12 $$

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

$$ x > 12 $$

Bài 4.
a) Ta có: OD = OA = OB (cùng bán kính) nên ODOB là đường kính của (O). 
Tương tự, O'A = O'C = O'E (cùng bán kính) nên O'O'E là đường kính của (O'). 
Mặt khác, DE là tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O'), nên OD ⊥ DE và O'E ⊥ DE. 
Do đó, ODO'E là đường thẳng, suy ra ODO' // OE. 
Vậy tứ giác ODEO' là hình thang.

b) Ta có: ∠DAO = ∠EAO' = 90° (góc giữa tiếp tuyến và bán kính). 
Suy ra ∠DAE = 180° - (∠DAO + ∠EAO') = 180° - (90° + 90°) = 0°. 
Vậy số đo góc DAE là 0°.

c) Ta có: ∠DAM = ∠EAM = 90° (góc giữa tiếp tuyến và bán kính). 
Suy ra ∠DME = 180° - (∠DAM + ∠EAM) = 180° - (90° + 90°) = 0°. 
Vậy tứ giác ADME là hình vuông.

d) Ta có: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O'), nên MA ⊥ OA và MA ⊥ O'A. 
Suy ra MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O').

Bài 5.
Để mảnh đất có diện tích lớn nhất, Tể tướng nên căng sợi dây thành một hình vuông.

Lý do:
- Ta biết rằng chu vi của hình chữ nhật là 300 mét.
- Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức: $ P = 2 \times (dài + rộng) $.
- Vì chu vi là 300 mét, ta có: $ 2 \times (dài + rộng) = 300 $ hay $ dài + rộng = 150 $ mét.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai số dương $a$ và $b$ là: $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $.
- Áp dụng vào bài toán, ta có: $ \frac{dài + rộng}{2} \geq \sqrt{dài \times rộng} $.
- Thay $dài + rộng = 150$ vào, ta có: $ \frac{150}{2} \geq \sqrt{dài \times rộng} $ hay $ 75 \geq \sqrt{dài \times rộng} $.
- Do đó, $ dài \times rộng \leq 75^2 = 5625 $.

Đẳng thức xảy ra khi:
- $ dài = rộng $, tức là hình chữ nhật trở thành hình vuông.

Kết luận:
- Để diện tích lớn nhất, Tể tướng nên căng sợi dây thành một hình vuông, mỗi cạnh của hình vuông sẽ là $ \frac{300}{4} = 75 $ mét.

Vậy, Tể tướng sẽ căng sợi dây thành một hình vuông với mỗi cạnh là 75 mét để mảnh đất có diện tích lớn nhất.