Tìm hai số nguyên tố $x$ và $y$ sao cho $x^2-2y^2=1$

Ta có: $\displaystyle x^{2} -2y^{2} =1\Longrightarrow y^{2} =\frac{x^{2} -1}{2}$
Do x, y là số nguyên dương nên x > y và x là số nguyên tố lẻ.
Đặt x = 2k + 1 (k là số nguyên dương).
Khi đó ta có $\displaystyle y^{2} \ =\ 2k( k\ +\ 1)$, suy ra $\displaystyle y^{2} \ \vdots \ 2\ $(1)
Do y là số nguyên tố nên $\displaystyle y^{2}$ là số nguyên dương có duy nhất 3 ước là 1; y; $\displaystyle y^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra y = 2 nên $\displaystyle 2k^{2} \ +\ 2k\ =\ 4$
Do đó k = 1 (do k là số nguyên dương), suy ra x = 3.
Vậy x = 3 ; y = 2