CMR không tồn tại hai số tự nhiên khác 0 x,y sao cho x^2+y và y^2 + x là Số chính phương

Giả sử tồn tại hai số tự nhiên khác 0 là \( x \) và \( y \) sao cho \( x^2 + y \) và \( y^2 + x \) là số chính phương. Ta xét các trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: \( x = y \) Khi đó, ta có: \[ x^2 + y = x^2 + x \] \[ y^2 + x = x^2 + x \] Vì \( x^2 + x \) phải là số chính phương, ta đặt \( x^2 + x = k^2 \) với \( k \) là số tự nhiên. Ta có: \[ x(x + 1) = k^2 \] Điều này là vô lý vì \( x \) và \( x + 1 \) là hai số liên tiếp, không thể cùng là số chính phương. 2. Trường hợp 2: \( x \neq y \) Giả sử \( x > y \). Khi đó, ta có: \[ x^2 < x^2 + y < (x+1)^2 \] Vì \( x^2 + y \) nằm giữa hai số chính phương liên tiếp \( x^2 \) và \( (x+1)^2 \), nên \( x^2 + y \) không thể là số chính phương. Tương tự, nếu \( y > x \), ta cũng có: \[ y^2 < y^2 + x < (y+1)^2 \] Do đó, \( y^2 + x \) cũng không thể là số chính phương. Từ hai trường hợp trên, ta thấy rằng không tồn tại hai số tự nhiên khác 0 \( x \) và \( y \) sao cho cả \( x^2 + y \) và \( y^2 + x \) đều là số chính phương. Vậy, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.