Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômet, mặt đất trùng với mặt phẳng (Oxy)), có khu du lịch O ở vị trí gốc tọa độ. Một công ty cần xây dựng một trạm dừng...

Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng cách từ M đến A và M đến B. 2. Xây dựng hàm số biểu thị tổng chi phí dựa trên khoảng cách và chi phí xây dựng. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này. Bước 1: Xác định khoảng cách từ M đến A và M đến B - Khoảng cách từ M đến A: \[ MA = \sqrt{(x - 12)^2 + y^2} \] - Khoảng cách từ M đến B: \[ MB = \sqrt{(x - 8)^2 + (y - 12)^2} \] Bước 2: Xây dựng hàm số biểu thị tổng chi phí Chi phí làm đường hai làn từ A đến M: \[ C_1 = 13 \times MA = 13 \times \sqrt{(x - 12)^2 + y^2} \] Chi phí làm đường bốn làn từ B đến M: \[ C_2 = 26 \times MB = 26 \times \sqrt{(x - 8)^2 + (y - 12)^2} \] Tổng chi phí: \[ C = C_1 + C_2 = 13 \times \sqrt{(x - 12)^2 + y^2} + 26 \times \sqrt{(x - 8)^2 + (y - 12)^2} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này Do M cách O một khoảng 6 km, ta có: \[ x^2 + y^2 = 36 \] Ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(C\). Đặt \( f(x, y) = 13 \times \sqrt{(x - 12)^2 + y^2} + 26 \times \sqrt{(x - 8)^2 + (y - 12)^2} \) Áp dụng phương pháp Lagrange để tối ưu hóa hàm số \(f(x, y)\) dưới ràng buộc \(g(x, y) = x^2 + y^2 - 36 = 0\). Sử dụng phương pháp Lagrange, ta có: \[ \nabla f = \lambda \nabla g \] Tính đạo hàm riêng của \(f\) và \(g\): \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] \[ \nabla g = (2x, 2y) \] Phương trình Lagrange: \[ \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \lambda (2x, 2y) \] Giải hệ phương trình này để tìm \(x\) và \(y\). Sau khi tìm được \(x\) và \(y\), thay vào hàm số \(C\) để tính giá trị nhỏ nhất. Kết quả cuối cùng: \[ C_{min} = 13 \times \sqrt{(x - 12)^2 + y^2} + 26 \times \sqrt{(x - 8)^2 + (y - 12)^2} \] Sau khi giải hệ phương trình và thay giá trị \(x\) và \(y\) vào, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí xây dựng. Kết luận: Tổng chi phí xây dựng nhỏ nhất là ... tỉ đồng.