bshxh ehehxbbxbd

Câu 5. Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt, ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Phương trình có hai nghiệm thực: $\Delta > 0$ 2. Nghiệm dương: $S > 0$ và $P > 0$ a) Phương trình $x^2 - 3x + m - 1 = 0$ - Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thực: \[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) > 0 \implies 9 - 4(m - 1) > 0 \implies 9 - 4m + 4 > 0 \implies 13 - 4m > 0 \implies m < \frac{13}{4} \] - Điều kiện để nghiệm dương: \[ S = 3 > 0 \quad \text{(luôn đúng)} \] \[ P = m - 1 > 0 \implies m > 1 \] Tóm lại, phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi: \[ 1 < m < \frac{13}{4} \] b) Phương trình $mx^2 + (2 - 3m)x - 6 = 0$ - Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thực: \[ \Delta = (2 - 3m)^2 - 4 \cdot m \cdot (-6) > 0 \implies (2 - 3m)^2 + 24m > 0 \implies 4 - 12m + 9m^2 + 24m > 0 \implies 9m^2 + 12m + 4 > 0 \] \[ (3m + 2)^2 > 0 \implies m \neq -\frac{2}{3} \] - Điều kiện để nghiệm dương: \[ S = \frac{-(2 - 3m)}{m} > 0 \implies \frac{3m - 2}{m} > 0 \implies m > \frac{2}{3} \quad \text{hoặc} \quad m < 0 \] \[ P = \frac{-6}{m} > 0 \implies m < 0 \] Tóm lại, phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi: \[ m < 0 \] c) Phương trình $(m + 1)x^2 - 2mx + m = 0$ - Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thực: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot (m + 1) \cdot m > 0 \implies 4m^2 - 4m^2 - 4m > 0 \implies -4m > 0 \implies m < 0 \] - Điều kiện để nghiệm dương: \[ S = \frac{2m}{m + 1} > 0 \implies m > 0 \quad \text{hoặc} \quad m < -1 \] \[ P = \frac{m}{m + 1} > 0 \implies m > 0 \quad \text{hoặc} \quad m < -1 \] Tóm lại, phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi: \[ m < -1 \] Đáp số: a) $1 < m < \frac{13}{4}$ b) $m < 0$ c) $m < -1$ Câu 6. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu, ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\Delta > 0$ 2. Tích của hai nghiệm bằng 0: $c < 0$ a) Phương trình $x^2 - (2m - 3)x + m^2 - 4 = 0$ 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (2m - 3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 4) \] \[ \Delta = (2m - 3)^2 - 4(m^2 - 4) \] \[ \Delta = 4m^2 - 12m + 9 - 4m^2 + 16 \] \[ \Delta = -12m + 25 \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ \Delta > 0 \implies -12m + 25 > 0 \implies m < \frac{25}{12} \] 2. Tìm điều kiện để hai nghiệm trái dấu: Tích của hai nghiệm là: \[ c = m^2 - 4 \] Để hai nghiệm trái dấu, ta cần: \[ m^2 - 4 < 0 \implies (m - 2)(m + 2) < 0 \implies -2 < m < 2 \] 3. Kết hợp các điều kiện: \[ m < \frac{25}{12} \quad \text{và} \quad -2 < m < 2 \] Kết hợp lại ta có: \[ -2 < m < 2 \] b) Phương trình $mx^2 + 2x + m^2 - 2m = 0$ 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot m \cdot (m^2 - 2m) \] \[ \Delta = 4 - 4m(m^2 - 2m) \] \[ \Delta = 4 - 4m^3 + 8m^2 \] \[ \Delta = 4(1 - m^3 + 2m^2) \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ \Delta > 0 \implies 1 - m^3 + 2m^2 > 0 \] 2. Tìm điều kiện để hai nghiệm trái dấu: Tích của hai nghiệm là: \[ c = m^2 - 2m \] Để hai nghiệm trái dấu, ta cần: \[ m^2 - 2m < 0 \implies m(m - 2) < 0 \implies 0 < m < 2 \] 3. Kết hợp các điều kiện: Ta cần kiểm tra thêm điều kiện $\Delta > 0$ trong khoảng $0 < m < 2$. Ta thấy rằng trong khoảng này, $1 - m^3 + 2m^2 > 0$ luôn đúng. Vậy, kết hợp lại ta có: \[ 0 < m < 2 \] Đáp số: a) $-2 < m < 2$ b) $0 < m < 2$ Câu 7. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, ta cần thỏa mãn các điều kiện: 1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\Delta > 0$ 2. Tích của hai nghiệm dương: $x_1 \cdot x_2 > 0$ a) Phương trình $x^2 - 2(m + 1)x + m - 2 = 0$ Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = 1$, $b = -2(m + 1)$, $c = m - 2$. Ta tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = [-2(m + 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2) \] \[ \Delta = 4(m + 1)^2 - 4(m - 2) \] \[ \Delta = 4(m^2 + 2m + 1) - 4m + 8 \] \[ \Delta = 4m^2 + 8m + 4 - 4m + 8 \] \[ \Delta = 4m^2 + 4m + 12 \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần $\Delta > 0$: \[ 4m^2 + 4m + 12 > 0 \] \[ m^2 + m + 3 > 0 \] Bất đẳng thức này luôn đúng vì $m^2 + m + 3$ là một tam thức bậc hai có hệ số cao nhất dương và $\Delta' = 1 - 4 \cdot 3 < 0$, tức là nó không có nghiệm thực và luôn dương. Bước 2: Tìm điều kiện để tích của hai nghiệm dương Tích của hai nghiệm: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = m - 2 \] Để tích của hai nghiệm dương, ta cần: \[ m - 2 > 0 \] \[ m > 2 \] Kết luận: Phương trình $x^2 - 2(m + 1)x + m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi $m > 2$. b) Phương trình $x^2 - (3m + 1)x + 2m^2 + m - 1 = 0$ Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = 1$, $b = -(3m + 1)$, $c = 2m^2 + m - 1$. Ta tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = [-(3m + 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m^2 + m - 1) \] \[ \Delta = (3m + 1)^2 - 4(2m^2 + m - 1) \] \[ \Delta = 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m + 4 \] \[ \Delta = m^2 + 2m + 5 \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần $\Delta > 0$: \[ m^2 + 2m + 5 > 0 \] Bất đẳng thức này luôn đúng vì $m^2 + 2m + 5$ là một tam thức bậc hai có hệ số cao nhất dương và $\Delta' = 2^2 - 4 \cdot 5 < 0$, tức là nó không có nghiệm thực và luôn dương. Bước 2: Tìm điều kiện để tích của hai nghiệm dương Tích của hai nghiệm: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 2m^2 + m - 1 \] Để tích của hai nghiệm dương, ta cần: \[ 2m^2 + m - 1 > 0 \] Ta giải bất phương trình $2m^2 + m - 1 > 0$: \[ 2m^2 + m - 1 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \] \[ m = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = -1 \] Bất phương trình $2m^2 + m - 1 > 0$ đúng khi $m < -1$ hoặc $m > \frac{1}{2}$. Kết luận: Phương trình $x^2 - (3m + 1)x + 2m^2 + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi $m < -1$ hoặc $m > \frac{1}{2}$. Đáp số: a) $m > 2$ b) $m < -1$ hoặc $m > \frac{1}{2}$ Câu 8. 1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm Vm Phương trình (1) là phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), trong đó \(a = 1\), \(b = -2(m-1)\), và \(c = m-3\). Ta tính delta (\(\Delta\)) của phương trình: \[ \Delta = b^2 - 4ac = [-2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m-3) \] \[ \Delta = 4(m-1)^2 - 4(m-3) \] \[ \Delta = 4(m^2 - 2m + 1) - 4m + 12 \] \[ \Delta = 4m^2 - 8m + 4 - 4m + 12 \] \[ \Delta = 4m^2 - 12m + 16 \] Ta thấy rằng \(\Delta\) luôn dương vì: \[ \Delta = 4(m^2 - 3m + 4) \] \[ m^2 - 3m + 4 = (m - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4} \] Do \((m - \frac{3}{2})^2 \geq 0\) và \(\frac{7}{4} > 0\), nên \(m^2 - 3m + 4 > 0\). Do đó, \(\Delta > 0\) luôn luôn đúng, suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm thực phân biệt. 2. Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu và có trị tuyệt đối bằng nhau Để phương trình có hai nghiệm trái dấu và có trị tuyệt đối bằng nhau, ta cần: - Tổng của hai nghiệm bằng 0: \(x_1 + x_2 = 0\) - Tích của hai nghiệm âm: \(x_1 \cdot x_2 < 0\) Từ phương trình \(x^2 - 2(m-1)x + m-3 = 0\), ta có: - Tổng của hai nghiệm: \(x_1 + x_2 = 2(m-1)\) - Tích của hai nghiệm: \(x_1 \cdot x_2 = m-3\) Để \(x_1 + x_2 = 0\): \[ 2(m-1) = 0 \implies m = 1 \] Kiểm tra điều kiện tích của hai nghiệm âm: \[ x_1 \cdot x_2 = m - 3 = 1 - 3 = -2 < 0 \] Vậy, khi \(m = 1\), phương trình \(x^2 - 2(m-1)x + m-3 = 0\) có hai nghiệm trái dấu và có trị tuyệt đối bằng nhau. Đáp số: \(m = 1\) Câu 9. 1. Để phương trình $mx^2 - 2(m + 1)x + m + 2 = 0$ có nghiệm, ta xét các trường hợp sau: - Nếu $m = 0$, phương trình trở thành $-2x + 2 = 0$. Phương trình này có nghiệm duy nhất $x = 1$. - Nếu $m \neq 0$, phương trình là phương trình bậc hai. Điều kiện để phương trình có nghiệm là $\Delta \geq 0$. Ta tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = [-2(m + 1)]^2 - 4 \cdot m \cdot (m + 2) \] \[ \Delta = 4(m + 1)^2 - 4m(m + 2) \] \[ \Delta = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 + 2m) \] \[ \Delta = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 - 8m \] \[ \Delta = 4 \] Vì $\Delta = 4 > 0$, nên phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt khi $m \neq 0$. Vậy phương trình có nghiệm khi $m = 0$ hoặc $m \neq 0$. 2. Để phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng bằng nhau về giá trị tuyệt đối, ta cần: - Tổng của hai nghiệm bằng 0: $x_1 + x_2 = 0$ - Tích của hai nghiệm âm: $x_1 \cdot x_2 < 0$ Ta có: \[ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{2(m + 1)}{m} \] Để $x_1 + x_2 = 0$, ta có: \[ \frac{2(m + 1)}{m} = 0 \implies 2(m + 1) = 0 \implies m + 1 = 0 \implies m = -1 \] Kiểm tra điều kiện tích của hai nghiệm âm: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m + 2}{m} \] Thay $m = -1$ vào: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-1 + 2}{-1} = \frac{1}{-1} = -1 < 0 \] Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng bằng nhau về giá trị tuyệt đối khi $m = -1$. Đáp số: 1. Phương trình có nghiệm khi $m = 0$ hoặc $m \neq 0$. 2. Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng bằng nhau về giá trị tuyệt đối khi $m = -1$.