Cho đường tròn (O), dây CD cố định. Gọi B là điểm chính giữa cung nhỏ CD, kẻ đường kính AB cắt CD tại I. Lấy điểm H bất kỳ trên cùng lớn CD, HB cắt CD tại E. Đường thẳng AH cắt đường thẳng CD tại P. a...

Nguyễn Nhật Chi

a) Chứng minh tứ giác PHIB nội tiếp:

Để chứng minh tứ giác PHIB nội tiếp, ta cần chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ.

Góc PHB = 90 độ: Do HB là đường kính của đường tròn (O) nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn PHB là góc vuông.

Góc PIB = 90 độ: Vì CD là dây cung và AB là đường kính vuông góc với CD tại I nên tam giác PIB vuông tại I.

Vậy, tứ giác PHIB có hai góc đối (góc PHB và góc PIB) bằng 180 độ nên tứ giác PHIB nội tiếp.

b) Chứng minh AH.AP = AI.AB:

Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp:

Tứ giác PHIB nội tiếp: => góc PHB = góc PIB (cùng chắn cung PB)

Xét tam giác PAH và tam giác PBI:

Góc PHA = góc PIB (chứng minh trên)

Góc APH = góc BIP (cùng chắn cung AB)

=> Tam giác PAH đồng dạng với tam giác PBI (g.g)

Suy ra: AH/PI = AP/BI => AH.BI = AP.PI

Mà PI = AI (do I là trung điểm của CD)

Vậy, AH.AP = AI.AB

c) Chứng minh N, I, H thẳng hàng:

Sử dụng tính chất góc nội tiếp:

Tứ giác PHIB nội tiếp: => góc PHB = góc PIB

Tứ giác AMKN nội tiếp: (Vì góc AMN = góc AKN = 90 độ, cùng chắn cung AN) => góc ANM = góc AKM

Mà góc AKM = góc PHB (cùng phụ với góc KHM)

Suy ra: góc ANM = góc PIB

Mặt khác: góc ANM và góc PIN đối đỉnh

=> góc PIN = góc PIB

Vậy, ba điểm N, I, H thẳng hàng.