Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Để tính giới hạn \[ \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\left(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n - e^x\right), \] ta sẽ sử dụng khai triển nhị thức Newton. Theo định nghĩa, ta có: \[ \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^{n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right)}. \] Khi \(n\) tiến tới vô cùng, ta có thể dùng khai triển Taylor cho hàm \(\ln(1 + u)\) quanh \(u = 0\): \[ \ln(1 + u) \approx u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots. \] Trong trường hợp của chúng ta, với \(u = \frac{x}{n}\): \[ \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) \approx \frac{x}{n} - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{n}\right)^2 + O\left(\frac{1}{n^3}\right). \] Nhân với \(n\), ta có: \[ n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) \approx x - \frac{x^2}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \] Do đó, \[ \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^{n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right)} \approx e^{x - \frac{x^2}{2n}} = e^x e^{-\frac{x^2}{2n}}. \] Sử dụng khai triển hàm mũ: \[ e^{-\frac{x^2}{2n}} \approx 1 - \frac{x^2}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \] Do đó, ta có: \[ \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \approx e^x \left(1 - \frac{x^2}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right). \] Như vậy, \[ \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \approx e^x - \frac{e^x x^2}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \] Bây giờ, ta cần tìm \[ \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n - e^x \approx - \frac{e^x x^2}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \] Khi nhân với \(n^2\): \[ n^2\left(\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n - e^x\right) \approx n^2\left(-\frac{e^x x^2}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) = -\frac{e^x x^2}{2} + O(1). \] Khi \(n\) tiến tới vô cùng, phần \(O(1)\) sẽ không ảnh hưởng đến giới hạn, do đó: \[ \lim_{n\rightarrow\infty} n^2\left(\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n - e^x\right) = -\frac{e^x x^2}{2}. \] Vậy giới hạn là: \[ \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\left(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n - e^x\right) = -\frac{e^x x^2}{2}. \] **Đáp án:** \(-\frac{e^x x^2}{2}\).