Giải giúp tôi

Câu 16. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức đã cho để tính dân số Việt Nam trong các năm tiếp theo và tìm năm mà dân số vượt quá 120 triệu người. Công thức ước tính dân số sau n năm là: \[ S = A \cdot e^{rn} \] Trong đó: - \( S \) là dân số sau n năm. - \( A \) là dân số ban đầu (năm 2022), \( A = 99,2 \) triệu người. - \( r \) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, \( r = 0,93\% = 0,0093 \). - \( n \) là số năm kể từ năm 2022. Chúng ta cần tìm giá trị của \( n \) sao cho \( S > 120 \) triệu người. Thay các giá trị vào công thức: \[ 120 = 99,2 \cdot e^{0,0093n} \] Chia cả hai vế cho 99,2: \[ \frac{120}{99,2} = e^{0,0093n} \] Tính giá trị của \(\frac{120}{99,2}\): \[ \frac{120}{99,2} \approx 1,209677 \] Lấy logarit tự nhiên (ln) của cả hai vế: \[ \ln(1,209677) = \ln(e^{0,0093n}) \] Áp dụng tính chất của logarit: \[ \ln(1,209677) = 0,0093n \] Tính giá trị của \(\ln(1,209677)\): \[ \ln(1,209677) \approx 0,1903 \] Bây giờ, chia cả hai vế cho 0,0093: \[ n = \frac{0,1903}{0,0093} \approx 20,46 \] Vậy, sau khoảng 20,46 năm, dân số Việt Nam sẽ vượt quá 120 triệu người. Do đó, từ năm 2022 + 21 = 2043 trở đi, dân số nước ta sẽ vượt 120 triệu người. Đáp số: Năm 2043. Câu 17. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức $S = Ae^{rt}$ để tìm thời gian t (số năm) mà dân số Việt Nam vượt 120 triệu người. Bước 1: Xác định các giá trị đã biết: - Dân số của năm 2016 (A) = 94,444,200 người - Tỉ lệ tăng dân số hàng năm (r) = 1,07% = 0,0107 - Dân số mục tiêu (S) = 120,000,000 người Bước 2: Thay các giá trị vào công thức $S = Ae^{rt}$: \[ 120,000,000 = 94,444,200 \cdot e^{0,0107t} \] Bước 3: Chia cả hai vế cho 94,444,200 để đơn giản hóa: \[ \frac{120,000,000}{94,444,200} = e^{0,0107t} \] \[ 1,2705 = e^{0,0107t} \] Bước 4: Lấy logarit tự nhiên (ln) của cả hai vế để giải phương trình mũ: \[ \ln(1,2705) = \ln(e^{0,0107t}) \] \[ \ln(1,2705) = 0,0107t \] Bước 5: Tính $\ln(1,2705)$: \[ \ln(1,2705) \approx 0,240 \] Bước 6: Giải phương trình để tìm t: \[ 0,240 = 0,0107t \] \[ t = \frac{0,240}{0,0107} \] \[ t \approx 22,43 \] Bước 7: Làm tròn lên vì chúng ta cần số năm hoàn chỉnh: \[ t \approx 23 \text{ năm} \] Bước 8: Tính năm mà dân số vượt 120 triệu người: \[ 2016 + 23 = 2039 \] Vậy, cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy từ năm 2016, dân số nước ta sẽ vượt 120 triệu người vào năm 2039. Câu 18. Để tìm trung bình mỗi năm dân số của tỉnh Bình Dương tăng bao nhiêu phần trăm, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số: - Dân số đầu năm 2011 (A) = 1.691.400 người. - Dân số đầu năm 2015 (S) = 1.802.500 người. - Thời gian từ đầu năm 2011 đến đầu năm 2015 (t) = 4 năm. 2. Áp dụng công thức $S = A(1 + r)^t$ để tìm tỉ lệ tăng dân số hàng năm (r): \[ 1.802.500 = 1.691.400 \times (1 + r)^4 \] 3. Chia cả hai vế cho 1.691.400: \[ \frac{1.802.500}{1.691.400} = (1 + r)^4 \] \[ 1.0657 = (1 + r)^4 \] 4. Lấy căn bậc tư của cả hai vế: \[ \sqrt[4]{1.0657} = 1 + r \] \[ 1.016 = 1 + r \] 5. Giải ra r: \[ r = 1.016 - 1 \] \[ r = 0.016 \] 6. Đổi r thành phần trăm: \[ r = 0.016 \times 100\% = 1.6\% \] Vậy trung bình mỗi năm dân số của tỉnh Bình Dương tăng khoảng 1.6%. Đáp số: 1.6% Câu 19. Biết rằng sau 3 phút số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con, ta có: \[ s(3) = s_0 \cdot 2^3 = 625 \] \[ s_0 \cdot 8 = 625 \] \[ s_0 = \frac{625}{8} = 78.125 \] Bây giờ, ta cần tìm số lượng vi khuẩn sau 6 phút, tức là \( s(6) \): \[ s(6) = s_0 \cdot 2^6 \] \[ s(6) = 78.125 \cdot 64 \] \[ s(6) = 5000 \] Vậy sau 6 phút, số lượng vi khuẩn là 5000 nghìn con. Câu 20. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tỉ lệ tăng trưởng \( r \): - Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu \( A = 500 \) con. - Sau 6 giờ (360 phút), số lượng vi khuẩn là 2000 con. - Ta có công thức \( S(t) = A \cdot e^{rt} \). Thay các giá trị vào công thức: \[ 2000 = 500 \cdot e^{r \cdot 360} \] Chia cả hai vế cho 500: \[ 4 = e^{r \cdot 360} \] Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế: \[ \ln(4) = r \cdot 360 \] Giải ra \( r \): \[ r = \frac{\ln(4)}{360} \] 2. Tìm thời gian để số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con: - Ta cần tìm \( t \) sao cho \( S(t) \geq 120000 \). Thay vào công thức: \[ 120000 = 500 \cdot e^{\left(\frac{\ln(4)}{360}\right) \cdot t} \] Chia cả hai vế cho 500: \[ 240 = e^{\left(\frac{\ln(4)}{360}\right) \cdot t} \] Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế: \[ \ln(240) = \left(\frac{\ln(4)}{360}\right) \cdot t \] Giải ra \( t \): \[ t = \frac{360 \cdot \ln(240)}{\ln(4)} \] 3. Tính toán: - Tính \( \ln(240) \approx 5.4806 \) - Tính \( \ln(4) \approx 1.3863 \) Thay vào công thức: \[ t = \frac{360 \cdot 5.4806}{1.3863} \approx 1429.99 \] 4. Làm tròn đến hàng đơn vị: - Thời gian ít nhất cần thiết là 1430 phút. 5. Chuyển đổi thời gian từ phút sang giờ: - 1430 phút = 23.83 giờ ≈ 24 giờ Vậy, ít nhất sau 24 giờ, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con. Câu 21. Sau mỗi tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có. Ta có: Sau 1 tuần bèo phát triển thành $\frac{4}{10} \times 3 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ (diện tích mặt hồ) Sau 2 tuần bèo phát triển thành $\frac{6}{5} \times 3 = \frac{18}{5}$ (diện tích mặt hồ) Ta thấy $\frac{18}{5} > 1$ nên sau 2 tuần bèo sẽ phủ kín mặt hồ. Vậy sau ít nhất 14 ngày bèo sẽ phủ kín mặt hồ. Câu 22. Công thức phân rã của các chất phóng xạ được cho là: \[ m(t) = m_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \] Trong đó: - \( m_0 \) là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \( t = 0 \)). - \( m(t) \) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm \( t \). - \( T \) là chu kỳ bán rã. Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ là 24 giờ (1 ngày đêm). Ta cần tính khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 3,5 ngày đêm từ 250 gam chất phóng xạ ban đầu. Bước 1: Xác định thời gian \( t \): \[ t = 3,5 \text{ ngày đêm} \] Bước 2: Thay các giá trị vào công thức: \[ m(t) = 250 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{3,5}{1}} \] \[ m(t) = 250 \left( \frac{1}{2} \right)^{3,5} \] Bước 3: Tính giá trị của \( \left( \frac{1}{2} \right)^{3,5} \): \[ \left( \frac{1}{2} \right)^{3,5} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{0,5} \] \[ \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \] \[ \left( \frac{1}{2} \right)^{0,5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707 \] Do đó: \[ \left( \frac{1}{2} \right)^{3,5} = \frac{1}{8} \times 0,707 = 0,088375 \] Bước 4: Tính khối lượng chất phóng xạ còn lại: \[ m(t) = 250 \times 0,088375 \approx 22,09375 \] Làm tròn đến hàng phần chục: \[ m(t) \approx 22,1 \text{ gam} \] Vậy sau 3,5 ngày đêm, khối lượng chất phóng xạ còn lại là 22,1 gam. Câu 23. Khối lượng ban đầu của chất phóng xạ là $m_0$. Khối lượng chất phóng xạ sau thời gian $t$ là $m(t)$. Theo đề bài, mẫu đồ cổ đã mất khoảng 25% lượng Cabon ban đầu của nó, tức là khối lượng còn lại là 75% khối lượng ban đầu. Ta có: \[ m(t) = m_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \] \[ 0.75 m_0 = m_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{5730}} \] Chia cả hai vế cho $m_0$: \[ 0.75 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{5730}} \] Lấy logarit cơ số 10 của cả hai vế: \[ \log(0.75) = \log \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{5730}} \right) \] Áp dụng tính chất logarit $\log(a^b) = b \log(a)$: \[ \log(0.75) = \frac{t}{5730} \log \left( \frac{1}{2} \right) \] Biến đổi để tìm $t$: \[ t = 5730 \cdot \frac{\log(0.75)}{\log \left( \frac{1}{2} \right)} \] Tính giá trị của biểu thức trên: \[ \log(0.75) \approx -0.1249 \] \[ \log \left( \frac{1}{2} \right) = -0.3010 \] Do đó: \[ t = 5730 \cdot \frac{-0.1249}{-0.3010} \approx 5730 \cdot 0.415 \approx 2378 \text{ năm} \] Vậy mẫu đồ cổ đó có tuổi khoảng 2378 năm.