Giải hộ mình câu này với các bạn Bài6: Tính tổng $B=\frac1{1.2.3}+\frac1{2.3.4}+\frac1{3.4.5}+...+\frac1{18.19.20}$

Question

Roy ._.hg2 · Accepted Answer

ta có công thức : $\frac{2 a}{n (n + a) (n + 2 a)} = \frac{1}{n (n + a)} - \frac{1}{(n + a) (n + 2 a)}$

trở lại bài toán, ta có :

$A = \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + . . . + \frac{1}{18.19.20}$

$2 A = 2 (\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + . . . + \frac{1}{18.19.20})$

$2 A = \frac{2}{1.2.3} + \frac{2}{2.3.4} + \frac{2}{3.4.5} + . . . + \frac{2}{18.19.20}$

áp dụng công thức ở đầu bài, ta có :

$2 A = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3} - \frac{1}{3.4} + \frac{1}{3.4} - \frac{1}{4.5} + . . . + \frac{1}{18.19} - \frac{1}{19.20}$

$2 A = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{19.20}$

$2 A = \frac{19.20 - 1.2}{1.2.19.20}$

$2 A = \frac{378}{760}$

$A = \frac{189}{760}$

Timi · Answer

Bài6:
Để tính tổng $ B = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{18 \cdot 19 \cdot 20} $, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích từng phân số thành các phân số đơn giản hơn.

Nhận xét rằng:
$$ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) $$

Áp dụng công thức này vào từng phân số trong tổng $ B $:

$$ B = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{18 \cdot 19 \cdot 20} $$

$$ B = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4 \cdot 5} \right) + ... + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{18 \cdot 19} - \frac{1}{19 \cdot 20} \right) $$

Nhận thấy rằng đây là một dãy tổng có các phân số liên tiếp triệt tiêu lẫn nhau:

$$ B = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{18 \cdot 19} - \frac{1}{19 \cdot 20} \right) $$

Các phân số ở giữa đều bị triệt tiêu, chỉ còn lại:

$$ B = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{19 \cdot 20} \right) $$

$$ B = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{380} \right) $$

$$ B = \frac{1}{2} \left( \frac{190}{380} - \frac{1}{380} \right) $$

$$ B = \frac{1}{2} \left( \frac{189}{380} \right) $$

$$ B = \frac{189}{760} $$

Vậy, tổng $ B $ là:

$$ B = \frac{189}{760} $$