Cho một lò xo có chiều dài tự nhiên ℓ0, đầu trên cố định đầu dưới người ta treo quả cân 200 g thì lo xo dài 32 cm. Khi treo thêm quả cân 100 g nữa thì lo xo dài 33 cm. Tính chiều dài tự nhiên và độ cứn...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định luật Hooke cho lò xo, theo đó: \[ F = k \cdot x \] Trong đó: - \( F \) là lực tác dụng lên lò xo (trọng lực của quả cân), - \( k \) là độ cứng của lò xo, - \( x \) là độ giãn dài của lò xo (so với chiều dài tự nhiên). ### Bước 1: Tính lực tác dụng từ quả cân - Quả cân đầu tiên: 200 g = 0.2 kg \[ F_1 = m_1 \cdot g = 0.2 \cdot 9.8 = 1.96 \, N \] - Quả cân thứ hai: 300 g = 0.3 kg \[ F_2 = m_2 \cdot g = 0.3 \cdot 9.8 = 2.94 \, N \] ### Bước 2: Tính độ giãn dài của lò xo - Khi treo quả cân 200 g, chiều dài lò xo là 32 cm = 0.32 m. \[ x_1 = 0.32 - \ell_0 \] - Khi treo thêm 100 g nữa, chiều dài lò xo là 33 cm = 0.33 m. \[ x_2 = 0.33 - \ell_0 \] ### Bước 3: Thiết lập phương trình Từ định luật Hooke, ta có hai phương trình: 1. Với quả cân 200 g: \[ k \cdot (0.32 - \ell_0) = 1.96 \] (1) 2. Với quả cân 300 g: \[ k \cdot (0.33 - \ell_0) = 2.94 \] (2) ### Bước 4: Giải hệ phương trình Chúng ta có hai phương trình (1) và (2): Từ (1): \[ k = \frac{1.96}{0.32 - \ell_0} \] Thay vào (2): \[ \frac{1.96}{0.32 - \ell_0} \cdot (0.33 - \ell_0) = 2.94 \] Giải phương trình này: \[ 1.96(0.33 - \ell_0) = 2.94(0.32 - \ell_0) \] Mở rộng ra: \[ 0.6468 - 1.96 \ell_0 = 0.9408 - 2.94 \ell_0 \] Chuyển về một vế: \[ 2.94 \ell_0 - 1.96 \ell_0 = 0.9408 - 0.6468 \] \[ 0.98 \ell_0 = 0.294 \] \[ \ell_0 = \frac{0.294}{0.98} \approx 0.30 \, m = 30 \, cm \] ### Bước 5: Tính độ cứng \( k \) Thay giá trị \( \ell_0 \) vào phương trình (1) để tìm \( k \): \[ k = \frac{1.96}{0.32 - 0.30} = \frac{1.96}{0.02} = 98 \, N/m \approx 100 \, N/m \] ### Kết luận Chiều dài tự nhiên của lò xo là 30 cm và độ cứng là 100 N/m. **Đáp án đúng là B. 30 cm và 100 N/m.**