Giúp câu trong ảnh

Câu 26: Để tìm phương trình của đường tròn (C) đi qua điểm $A(1;-2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:~x-y+1=0$ tại $M(1;2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn: - Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm $M(1;2)$. Do đó, tâm của đường tròn nằm trên đường vuông góc hạ từ điểm $M$ xuống đường thẳng $\Delta$. - Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $x - y + 1 = 0$, suy ra vectơ pháp tuyến của nó là $\vec{n} = (1, -1)$. - Đường vuông góc hạ từ điểm $M(1;2)$ xuống đường thẳng $\Delta$ sẽ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1, 1)$ (vì $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{n}$). 2. Phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với Δ: - Đường thẳng đi qua $M(1;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1, 1)$ có phương trình: \[ y - 2 = 1(x - 1) \implies y = x + 1 \] 3. Tìm tâm của đường tròn: - Tâm của đường tròn nằm trên đường thẳng $y = x + 1$. Gọi tâm của đường tròn là $I(a, b)$. Ta có $b = a + 1$. - Vì đường tròn đi qua điểm $A(1, -2)$, nên khoảng cách từ tâm $I(a, a+1)$ đến điểm $A(1, -2)$ bằng bán kính $r$: \[ r = \sqrt{(a - 1)^2 + ((a + 1) + 2)^2} \] - Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm $M(1, 2)$, nên khoảng cách từ tâm $I(a, a+1)$ đến đường thẳng $\Delta$ cũng bằng bán kính $r$: \[ r = \frac{|a - (a + 1) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|0|}{\sqrt{2}} = 0 \] - Điều này cho thấy tâm của đường tròn nằm trên đường thẳng $y = x + 1$ và khoảng cách từ tâm đến điểm $M$ cũng bằng bán kính. 4. Kiểm tra các đáp án: - Ta kiểm tra các đáp án đã cho để tìm tâm và bán kính phù hợp: - Đáp án A: $(x-6)^2 + y^2 = 29$ - Tâm: $(6, 0)$ - Bán kính: $\sqrt{29}$ - Đáp án B: $(x-5)^2 + y^2 = 20$ - Tâm: $(5, 0)$ - Bán kính: $\sqrt{20}$ - Đáp án C: $(x-4)^2 + y^2 = 13$ - Tâm: $(4, 0)$ - Bán kính: $\sqrt{13}$ - Đáp án D: $(x-3)^2 + y^2 = 8$ - Tâm: $(3, 0)$ - Bán kính: $\sqrt{8}$ 5. Kiểm tra điều kiện tiếp xúc và đi qua điểm A: - Ta kiểm tra xem tâm nào thỏa mãn điều kiện tiếp xúc và đi qua điểm $A(1, -2)$: - Đáp án C: $(x-4)^2 + y^2 = 13$ - Tâm: $(4, 0)$ - Bán kính: $\sqrt{13}$ - Kiểm tra điểm $A(1, -2)$: \[ (1 - 4)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13 \] - Kiểm tra tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$: \[ \text{Khoảng cách từ } (4, 0) \text{ đến } \Delta: \frac{|4 - 0 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \sqrt{12.5} \neq \sqrt{13} \] - Đáp án D: $(x-3)^2 + y^2 = 8$ - Tâm: $(3, 0)$ - Bán kính: $\sqrt{8}$ - Kiểm tra điểm $A(1, -2)$: \[ (1 - 3)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8 \] - Kiểm tra tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$: \[ \text{Khoảng cách từ } (3, 0) \text{ đến } \Delta: \frac{|3 - 0 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \] Do đó, phương trình của đường tròn (C) là: \[ \boxed{(x-3)^2 + y^2 = 8} \] Câu 27: Phương trình của một đường tròn có dạng tổng quát là: \[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \] Trong đó, \(D\), \(E\), và \(F\) là các hằng số. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xem chúng có đúng dạng này hay không. A. \( 4x^2 + y^2 - 10x - 6y - 2 = 0 \) Phương trình này có hệ số của \(x^2\) là 4, không phải là 1, nên không phải là phương trình của một đường tròn. B. \( x^2 + y^2 - 2x - 8y + 20 = 0 \) Phương trình này có hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) đều là 1, và có dạng tổng quát của phương trình đường tròn. Do đó, đây là phương trình của một đường tròn. C. \( x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 1 = 0 \) Phương trình này có hệ số của \(y^2\) là 2, không phải là 1, nên không phải là phương trình của một đường tròn. D. \( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \) Phương trình này có hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) đều là 1, và có dạng tổng quát của phương trình đường tròn. Do đó, đây là phương trình của một đường tròn. Tuy nhiên, trong các phương án đã cho, chỉ có phương án B là đúng theo yêu cầu của đề bài. Vậy phương trình của một đường tròn là: \[ x^2 + y^2 - 2x - 8y + 20 = 0 \] Đáp án đúng là: B. \( x^2 + y^2 - 2x - 8y + 20 = 0 \) Câu 28: Phương trình đường tròn có dạng tổng quát là: \[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \] Trong đó, \(D\), \(E\), và \(F\) là các hằng số. Để xác định phương trình nào không phải là phương trình của đường tròn, ta sẽ kiểm tra từng phương trình theo dạng tổng quát này. A. \( x^2 + y^2 - x + y + 4 = 0 \) - Đây là phương trình tổng quát của đường tròn với \(D = -1\), \(E = 1\), và \(F = 4\). B. \( x^2 + y^2 - 100y + 1 = 0 \) - Đây là phương trình tổng quát của đường tròn với \(D = 0\), \(E = -100\), và \(F = 1\). C. \( x^2 + y^2 - 2 = 0 \) - Đây là phương trình tổng quát của đường tròn với \(D = 0\), \(E = 0\), và \(F = -2\). D. \( x^2 + y^2 - y = 0 \) - Đây là phương trình tổng quát của đường tròn với \(D = 0\), \(E = -1\), và \(F = 0\). Tất cả các phương trình đều có dạng tổng quát của đường tròn. Tuy nhiên, để chắc chắn rằng chúng ta đã hiểu đúng, ta sẽ kiểm tra lại điều kiện xác định của đường tròn: \[ D^2 + E^2 - 4F > 0 \] A. \( (-1)^2 + 1^2 - 4 \cdot 4 = 1 + 1 - 16 = -14 < 0 \) - Điều kiện không thỏa mãn, do đó phương trình này không phải là phương trình của đường tròn. B. \( 0^2 + (-100)^2 - 4 \cdot 1 = 0 + 10000 - 4 = 9996 > 0 \) - Điều kiện thỏa mãn, do đó phương trình này là phương trình của đường tròn. C. \( 0^2 + 0^2 - 4 \cdot (-2) = 0 + 0 + 8 = 8 > 0 \) - Điều kiện thỏa mãn, do đó phương trình này là phương trình của đường tròn. D. \( 0^2 + (-1)^2 - 4 \cdot 0 = 0 + 1 - 0 = 1 > 0 \) - Điều kiện thỏa mãn, do đó phương trình này là phương trình của đường tròn. Vậy phương trình không phải là phương trình của đường tròn là: \[ \boxed{A} \] Câu 29: Phương trình $x^2 + y^2 + 2mx + 2(m - 1)y + 2m^2 = 0$ có dạng tổng quát của phương trình đường tròn là $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Để phương trình này là phương trình của một đường tròn, ta cần điều kiện $D^2 + E^2 - 4F > 0$. Trong phương trình đã cho: - $D = 2m$ - $E = 2(m - 1)$ - $F = 2m^2$ Áp dụng điều kiện $D^2 + E^2 - 4F > 0$, ta có: \[ (2m)^2 + [2(m - 1)]^2 - 4 \cdot 2m^2 > 0 \] Tính toán chi tiết: \[ 4m^2 + 4(m - 1)^2 - 8m^2 > 0 \] \[ 4m^2 + 4(m^2 - 2m + 1) - 8m^2 > 0 \] \[ 4m^2 + 4m^2 - 8m + 4 - 8m^2 > 0 \] \[ 4m^2 + 4m^2 - 8m^2 - 8m + 4 > 0 \] \[ -8m + 4 > 0 \] \[ -8m > -4 \] \[ m < \frac{1}{2} \] Vậy điều kiện của $m$ để phương trình $(1)$ là phương trình đường tròn là $m < \frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: A. $m < \frac{1}{2}$. Câu 30: Phương trình $x^2 + y^2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0$ có dạng tổng quát của phương trình đường tròn là $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Để phương trình này là phương trình của một đường tròn, ta cần điều kiện $D^2 + E^2 - 4F > 0$. Trong phương trình đã cho: - $D = -2m$ - $E = -4(m-2)$ - $F = 6 - m$ Ta tính $D^2 + E^2 - 4F$: \[ D^2 = (-2m)^2 = 4m^2 \] \[ E^2 = [-4(m-2)]^2 = 16(m-2)^2 = 16(m^2 - 4m + 4) = 16m^2 - 64m + 64 \] \[ 4F = 4(6 - m) = 24 - 4m \] Do đó: \[ D^2 + E^2 - 4F = 4m^2 + 16m^2 - 64m + 64 - (24 - 4m) \] \[ = 20m^2 - 60m + 40 \] Để phương trình là phương trình của một đường tròn, ta cần: \[ 20m^2 - 60m + 40 > 0 \] Chia cả hai vế cho 20: \[ m^2 - 3m + 2 > 0 \] Ta giải bất phương trình $m^2 - 3m + 2 > 0$ bằng cách tìm nghiệm của phương trình $m^2 - 3m + 2 = 0$: \[ m^2 - 3m + 2 = 0 \] \[ (m - 1)(m - 2) = 0 \] Nghiệm của phương trình là $m = 1$ và $m = 2$. Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} m & (-\infty, 1) & (1, 2) & (2, +\infty) \\ \hline m - 1 & - & + & + \\ m - 2 & - & - & + \\ \hline (m - 1)(m - 2) & + & - & + \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy $(m - 1)(m - 2) > 0$ khi $m \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$. Vậy điều kiện của $m$ để phương trình là phương trình đường tròn là: \[ m \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \] Đáp án đúng là: B. $m \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$. Câu 31: Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):~(x+2)^2+(y+2)^2=25$ tại điểm $M(2;1)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn: - Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-2;-2)$ và bán kính $R = 5$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến: - Vectơ $\overrightarrow{IM}$ từ tâm $I$ đến điểm $M$ là: \[ \overrightarrow{IM} = (2 - (-2); 1 - (-2)) = (4; 3) \] - Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4; 3)$. 3. Viết phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M(2;1)$ có dạng: \[ 4(x - 2) + 3(y - 1) = 0 \] - Rút gọn phương trình: \[ 4x - 8 + 3y - 3 = 0 \implies 4x + 3y - 11 = 0 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $M(2;1)$ là: \[ d:~4x + 3y - 11 = 0 \] Đáp án đúng là: D. $d:~4x + 3y - 11 = 0$.