Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = SB = SC = AB = AC = a và BC bằng a căn 2 góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và vectơ cần thiết. 2. Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Bước 1: Xác định các điểm và vectơ cần thiết - Ta có hình chóp S.ABC với SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a√2. - Gọi O là trung điểm của BC, ta có SO vuông góc với mặt phẳng ABC (vì SA = SB = SC). Bước 2: Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và SC - Ta cần tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{SC}$. - Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$. - Ta có $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OS}$. Ta tính các vectơ: - $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) - \left( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) = (a, 0, 0)$. - $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OS} = \left( 0, \frac{a}{2}, 0 \right) - \left( 0, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)$. Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{SC} = (a, 0, 0) \cdot \left( 0, \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2} \right) = 0 \] Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{AB}| = a \] \[ |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a \] Tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{SC}|} = \frac{0}{a \cdot a} = 0 \] Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và SC là: \[ \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ \] Đáp số: Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là 90°.