Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 14: Để tìm phương trình mặt phẳng (mp) chứa trục Oz và đi qua điểm P(2; -3; 5), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Mặt phẳng chứa trục Oz và đi qua điểm P sẽ có vectơ pháp tuyến vuông góc với trục Oz. Trục Oz có vectơ đơn vị là $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ có dạng $\vec{n} = (a, b, 0)$. 2. Tìm phương trình mặt phẳng: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \[ ax + by + cz + d = 0 \] Vì mặt phẳng chứa trục Oz, nên nó sẽ đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0). Thay tọa độ của điểm O vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0 \] \[ d = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng trở thành: \[ ax + by + cz = 0 \] Mặt phẳng này cũng đi qua điểm P(2, -3, 5). Thay tọa độ của điểm P vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ a \cdot 2 + b \cdot (-3) + c \cdot 5 = 0 \] \[ 2a - 3b + 5c = 0 \] Vì mặt phẳng chứa trục Oz, nên c = 0. Thay c = 0 vào phương trình trên, ta có: \[ 2a - 3b = 0 \] \[ 2a = 3b \] \[ a = \frac{3}{2}b \] Chọn b = 2 (để đơn giản hóa), ta có: \[ a = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\vec{n} = (3, 2, 0)$. 3. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng với vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3, 2, 0)$ và đi qua điểm P(2, -3, 5) là: \[ 3(x - 2) + 2(y + 3) + 0(z - 5) = 0 \] \[ 3x - 6 + 2y + 6 = 0 \] \[ 3x + 2y = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng chứa trục Oz và đi qua điểm P(2, -3, 5) là: \[ 3x + 2y = 0 \] Câu 15: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) chứa trục Oy và đi qua điểm A(1, 4, -3). Ta cần tìm phương trình của mặt phẳng này. Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) - Mặt phẳng (P) chứa trục Oy, do đó vectơ đơn vị dọc theo trục Oy là $\vec{j} = (0, 1, 0)$. - Mặt phẳng (P) cũng đi qua điểm A(1, 4, -3). Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) - Vì mặt phẳng (P) chứa trục Oy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ vuông góc với $\vec{j}$. - Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1, 4, -3), ta có thể chọn một điểm B trên trục Oy, ví dụ B(0, 4, 0). - Vectơ $\overrightarrow{AB} = (0 - 1, 4 - 4, 0 + 3) = (-1, 0, 3)$. Bước 3: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ vuông góc với cả $\vec{j}$ và $\overrightarrow{AB}$. - Ta tính tích vector $\vec{n} = \vec{j} \times \overrightarrow{AB}$: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 3 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(0 \cdot 3 - (-1) \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) = 3\vec{i} + \vec{k} = (3, 0, 1) \] Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) - Phương trình mặt phẳng có dạng: $ax + by + cz = d$, trong đó $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng. - Ta có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3, 0, 1)$ và điểm A(1, 4, -3) thuộc mặt phẳng. - Thay vào phương trình mặt phẳng: $3(x - 1) + 0(y - 4) + 1(z + 3) = 0$. - Đơn giản hóa phương trình: $3x + z = 0$. Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ 3x + z = 0 \] Câu 16: Để tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (ABC), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC): - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 1, -2 + 1, 2 - 2) = (-3, -1, 0)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 1, 1 + 1, -1 - 2) = (0, 2, -3)$ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{n_{ABC}} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(9) + \mathbf{k}(-6) = (3, -9, -6) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (ABC): - Mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (ABC) sẽ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}$ vì nó vuông góc với $\overrightarrow{n_{ABC}}$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (-3, -1, 0)$. 3. Lập phương trình mặt phẳng: - Mặt phẳng đi qua điểm A(1, -1, 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (-3, -1, 0)$ có phương trình: \[ -3(x - 1) - 1(y + 1) + 0(z - 2) = 0 \] \[ -3x + 3 - y - 1 = 0 \] \[ -3x - y + 2 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là: \[ -3x - y + 2 = 0 \]