giải giúp tớ đúng chính xác ạ Câu 1:,Sân vận động Sports Hub là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại,hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore,năm 2015. Nền sân là một elip,(E) có trục lớn dài,150 m , trục bé dài,90 m . Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông,góc với trục lớn của,(E) và cắt,(E) ở,M, N thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình,tròn tâm,I với,MN là một dây cung và góc,$\widehat{MIN}=90^0.$ Để lắp máy điều hòa không khi cho sân,vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian,bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân,là một mặt phẳng và thể tích vật liệu làm mái không,đáng kể. Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu?,

Question

hrchanh88-89 · Accepted Answer

Câu 1:

Phương trình chính tắc Elip $(E)$ là:

$\frac{x^2}{45^2}+\frac{y^2}{75^2}=1 .$
Từ đó, suy ra

$y^2=\left(1-\frac{x^2}{75^2} ight) \cdot 45^2 \Rightarrow M N=2 \sqrt{45^2-\frac{45^2}{75^2} x^2}$
Diện tích thiết diện là:

$$
\begin{aligned}
& S(x)=\frac{\pi R^2}{4}-\frac{1}{2} R^2=\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} ight) R^2 \
& =\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} ight)\left(\frac{M N}{\sqrt{2}} ight)^2=\left(\frac{\pi}{2}-1 ight)\left(45^2-\frac{45^2}{75^2} x^2 ight)
\end{aligned}
$$

Thể tích cần tính là:

$$
\begin{aligned}
& V=\int_{-75}^{75} S(x) \mathrm{d} x=\int_{-75}^{75}\left(\frac{\pi}{2}-1 ight)\left(45^2-\frac{45^2}{75^2} x^2 ight) \mathrm{d} x \
& \approx 115586 m^3
\end{aligned}
$$

Timi · Answer

Câu 1:
Để tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích hình elip (E):
   - Trục lớn của elip là 150 m, do đó bán kính lớn $a = \frac{150}{2} = 75$ m.
   - Trục bé của elip là 90 m, do đó bán kính bé $b = \frac{90}{2} = 45$ m.
   - Diện tích hình elip $A_{elip}$ được tính bằng công thức:
     $$
     A_{elip} = \pi \cdot a \cdot b = \pi \cdot 75 \cdot 45 = 3375\pi \text{ m}^2
     $$

2. Tính diện tích thiết diện hình tròn:
   - Thiết diện là một phần của hình tròn tâm I với MN là dây cung và góc $\widehat{MIN} = 90^\circ$.
   - Diện tích hình tròn tâm I với bán kính $r = 45$ m (bán kính bé của elip):
     $$
     A_{hinh-tron} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 45^2 = 2025\pi \text{ m}^2
     $$
   - Diện tích phần thiết diện (tứ phân之一圆的面积):
     $$
     A_{thiet-dien} = \frac{1}{4} \cdot A_{hinh-tron} = \frac{1}{4} \cdot 2025\pi = 506.25\pi \text{ m}^2
     $$

3. Tính thể tích phần không gian:
   - Thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân là thể tích của một khối elipoid bị cắt bởi một mặt phẳng vuông góc với trục lớn.
   - Thể tích của một khối elipoid là:
     $$
     V_{elipoid} = \frac{4}{3} \pi \cdot a \cdot b \cdot c
     $$
     Trong đó, $c$ là chiều cao của phần không gian, giả sử $c = 45$ m (bán kính bé của elip).
     $$
     V_{elipoid} = \frac{4}{3} \pi \cdot 75 \cdot 45 \cdot 45 = \frac{4}{3} \pi \cdot 151875 = 202500\pi \text{ m}^3
     $$
   - Vì thiết diện là một phần của hình tròn tâm I với góc $90^\circ$, nên thể tích phần không gian cần tính là:
     $$
     V_{khong-gian} = \frac{1}{4} \cdot V_{elipoid} = \frac{1}{4} \cdot 202500\pi = 50625\pi \text{ m}^3
     $$

Vậy thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân xấp xỉ là:
$$
50625\pi \approx 159043.13 \text{ m}^3
$$

Đáp số: $159043.13 \text{ m}^3$