Cho tam giác ABC có AB ≤BC≤ AC . Trên các cạnh BC, AC lần lượt lấy hai điểm , MN. Chứng minh: MN< AC .

Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tam giác ABC, ta có AB ≤ BC ≤ AC. Điều này cho thấy AC là cạnh dài nhất của tam giác ABC. Bây giờ, ta xét tam giác AMN. Trong tam giác này, MN là một đường thẳng nối hai điểm M và N trên các cạnh BC và AC của tam giác ABC. Theo tính chất của tam giác, tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài của cạnh còn lại. Do đó, trong tam giác AMN, ta có: - AM + MN > AN - AM + AN > MN - AN + MN > AM Tuy nhiên, để chứng minh MN < AC, ta sẽ tập trung vào việc so sánh MN với AC. Ta biết rằng M nằm trên cạnh BC và N nằm trên cạnh AC. Vì AC là cạnh dài nhất của tam giác ABC, nên bất kỳ đoạn thẳng nào nối hai điểm trên các cạnh của tam giác ABC đều sẽ ngắn hơn hoặc bằng AC. Cụ thể, ta có: - MN là đoạn thẳng nối hai điểm M và N trên các cạnh BC và AC. - Vì M và N nằm trên các cạnh của tam giác ABC, nên MN sẽ luôn ngắn hơn hoặc bằng AC. Do đó, ta có MN < AC. Vậy, ta đã chứng minh được MN < AC. Đáp số: MN < AC.