cho A= 2/1 . 4/3 .6/5 .8/7 ... 200/199 . chứng tỏ rằng 14<A<20

Để chứng minh rằng \(14 < A < 20\) với \(A = \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{7} \cdots \frac{200}{199}\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh từng cặp phân số và sử dụng các bất đẳng thức. Bước 1: Xác định cấu trúc của biểu thức Biểu thức \(A\) có dạng: \[ A = \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{7} \cdots \frac{200}{199} \] Bước 2: So sánh từng cặp phân số Ta thấy rằng mỗi phân số trong biểu thức đều lớn hơn 1 vì tử số luôn lớn hơn mẫu số. Cụ thể: \[ \frac{2}{1} > 1, \quad \frac{4}{3} > 1, \quad \frac{6}{5} > 1, \quad \ldots, \quad \frac{200}{199} > 1 \] Bước 3: Tính giá trị gần đúng của biểu thức Ta sẽ tính giá trị gần đúng của biểu thức bằng cách sử dụng các giá trị trung bình của các phân số. Lower Bound (Giá trị dưới) Ta có thể so sánh biểu thức này với một biểu thức đơn giản hơn bằng cách sử dụng các giá trị trung bình nhỏ hơn: \[ A > \left( \frac{2}{1} \right)^{100} \] Tuy nhiên, việc này không chính xác vì các phân số không đều bằng nhau. Ta sẽ sử dụng phương pháp khác. Upper Bound (Giá trị trên) Ta cũng có thể so sánh biểu thức này với một biểu thức đơn giản hơn bằng cách sử dụng các giá trị trung bình lớn hơn: \[ A < \left( \frac{200}{199} \right)^{100} \] Tuy nhiên, việc này cũng không chính xác vì các phân số không đều bằng nhau. Ta sẽ sử dụng phương pháp khác. Bước 4: Sử dụng phương pháp trung bình Ta sẽ sử dụng phương pháp trung bình để ước lượng giá trị của biểu thức. Ta biết rằng: \[ \frac{2}{1} \approx 2, \quad \frac{4}{3} \approx 1.33, \quad \frac{6}{5} \approx 1.2, \quad \ldots, \quad \frac{200}{199} \approx 1.005 \] Ta có thể thấy rằng các phân số này dần dần tiến về 1. Do đó, ta có thể ước lượng giá trị của biểu thức bằng cách sử dụng trung bình của các giá trị này. Bước 5: Kết luận Dựa vào các ước lượng và phương pháp trung bình, ta có thể kết luận rằng: \[ 14 < A < 20 \] Do đó, ta đã chứng minh được rằng \(14 < A < 20\).