Help me help Câu 3,Tổng của chuỗi số $\sum^\infty_{n=2}\frac1{n(n+1)(n+2)}$ bằng,The sum of the series $\sum^\infty_{n=2}\frac1{n(n+1)(n+2)}$ is equal to,$\circ\frac16$,$\frac1{24}$,$\frac1{12}$,$\frac14$,$\in$ Trước

Question

Accepted Answer

Ta phân tích phân số $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ thành tổng các phân số đơn giản hơn:

$$
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}
$$

$$
1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)
$$

$$
\begin{cases}
A + B + C = 0 \
3A + 2B + C = 0 \
2A = 1
\end{cases}
$$

$$
A = \frac{1}{2}, \quad B = -1, \quad C = \frac{1}{2}
$$

$$
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}
$$

$$
\sum^\infty_{n=2}\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \sum^\infty_{n=2}\left(\frac{1/2}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}\right)
$$

$$
\sum^\infty_{n=2}\frac{1/2}{n} - \sum^\infty_{n=2}\frac{1}{n+1} + \sum^\infty_{n=2}\frac{1/2}{n+2}
$$

- Đối với chuỗi thứ nhất: $k = n$
- Đối với chuỗi thứ hai: $k = n + 1$
- Đối với chuỗi thứ ba: $k = n + 2$

$$
\frac{1}{2}\sum^\infty_{k=2}\frac{1}{k} - \sum^\infty_{k=3}\frac{1}{k} + \frac{1}{2}\sum^\infty_{k=4}\frac{1}{k}
$$

$$
\frac{1}{2}\left(\sum^\infty_{k=2}\frac{1}{k}\right) - \left(\sum^\infty_{k=3}\frac{1}{k}\right) + \frac{1}{2}\left(\sum^\infty_{k=4}\frac{1}{k}\right)
$$

$$
\sum^\infty_{n=2}\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{4}
$$