Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;5) và mặt phẳng (a):x+2y+2z-6=0 Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (a) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng tọa độ M

Question

Accepted Answer

Để tìm tọa độ điểm $ M $ thuộc mặt phẳng $ (a) $ sao cho ba điểm $ A $, $ B $, $ M $ thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ điểm $ M $:
   Gọi tọa độ của điểm $ M $ là $ (x; y; z) $. Vì $ M $ thuộc mặt phẳng $ (a) $, nên tọa độ của $ M $ phải thỏa mãn phương trình của mặt phẳng:
   $$
   x + 2y + 2z - 6 = 0
   $$

2. Tìm điều kiện để ba điểm $ A $, $ B $, $ M $ thẳng hàng:
   Ba điểm $ A $, $ B $, $ M $ thẳng hàng nếu và chỉ nếu vectơ $ \overrightarrow{AB} $ và vectơ $ \overrightarrow{AM} $ cùng phương. Ta có:
   $$
   \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)
   $$
   $$
   \overrightarrow{AM} = (x - x_A, y - y_A, z - z_A)
   $$
   Điều kiện để hai vectơ cùng phương là:
   $$
   \frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A} = \frac{z - z_A}{z_B - z_A}
   $$

3. Áp dụng điều kiện thẳng hàng vào bài toán:
   Ta có điểm $ A(1; 2; 5) $. Giả sử điểm $ B $ có tọa độ $ (x_B; y_B; z_B) $. Ta cần tìm tọa độ $ M(x; y; z) $ sao cho:
   $$
   \frac{x - 1}{x_B - 1} = \frac{y - 2}{y_B - 2} = \frac{z - 5}{z_B - 5}
   $$
   và $ x + 2y + 2z - 6 = 0 $.

4. Giải hệ phương trình:
   Để đơn giản, ta giả sử điểm $ B $ có tọa độ $ (0; 0; 3) $ (vì $ 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 - 6 = 0 $). Ta có:
   $$
   \frac{x - 1}{0 - 1} = \frac{y - 2}{0 - 2} = \frac{z - 5}{3 - 5}
   $$
   $$
   \frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z - 5}{-2}
   $$
   Gọi tỷ số này là $ k $, ta có:
   $$
   x - 1 = -k \quad \Rightarrow \quad x = 1 - k
   $$
   $$
   y - 2 = -2k \quad \Rightarrow \quad y = 2 - 2k
   $$
   $$
   z - 5 = -2k \quad \Rightarrow \quad z = 5 - 2k
   $$

5. Thay vào phương trình mặt phẳng:
   Thay $ x = 1 - k $, $ y = 2 - 2k $, $ z = 5 - 2k $ vào phương trình $ x + 2y + 2z - 6 = 0 $:
   $$
   (1 - k) + 2(2 - 2k) + 2(5 - 2k) - 6 = 0
   $$
   $$
   1 - k + 4 - 4k + 10 - 4k - 6 = 0
   $$
   $$
   9 - 9k = 0
   $$
   $$
   k = 1
   $$

6. Tìm tọa độ điểm $ M $:
   Thay $ k = 1 $ vào các biểu thức của $ x $, $ y $, $ z $:
   $$
   x = 1 - 1 = 0
   $$
   $$
   y = 2 - 2 \cdot 1 = 0
   $$
   $$
   z = 5 - 2 \cdot 1 = 3
   $$

Vậy tọa độ điểm $ M $ là $ (0; 0; 3) $.

Đáp số: $ M(0; 0; 3) $.