1. So sánh: S=1/2+2/2^2+3/2^3+.......+2024/2^2024+2025/2^2025 với 2 2. Cho S= 1/31+1/32+1/33+.....+1/59+1/60. Chứng minh rằng: 3/5<S<4/5

1. So sánh: \( S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{2024}{2^{2024}} + \frac{2025}{2^{2025}} \) với 2 Ta thấy rằng \( S \) là tổng của các phân số có dạng \( \frac{n}{2^n} \). Ta sẽ so sánh từng phân số này với 1. - \( \frac{1}{2} < 1 \) - \( \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} < 1 \) - \( \frac{3}{2^3} = \frac{3}{8} < 1 \) - \( \frac{4}{2^4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} < 1 \) Các phân số tiếp theo cũng đều nhỏ hơn 1 vì tử số tăng chậm hơn mẫu số. Do đó, tổng của các phân số này sẽ nhỏ hơn tổng của các số 1 tương ứng. Tổng của 2025 số 1 là 2025, nhưng vì các phân số đều nhỏ hơn 1 nên tổng của chúng sẽ nhỏ hơn 2025. Tuy nhiên, ta cần so sánh với 2. Ta thấy rằng: \[ S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \ldots + \frac{2024}{2^{2024}} + \frac{2025}{2^{2025}} \] Mỗi phân số đều nhỏ hơn 1 và tổng của chúng sẽ nhỏ hơn 2025. Vì vậy, ta có thể kết luận rằng \( S < 2 \). 2. Cho \( S = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{59} + \frac{1}{60} \). Chứng minh rằng: \( \frac{3}{5} < S < \frac{4}{5} \) Ta sẽ chứng minh từng phần: - Trước tiên, ta thấy rằng \( \frac{1}{31} > \frac{1}{60} \), \( \frac{1}{32} > \frac{1}{60} \), ..., \( \frac{1}{59} > \frac{1}{60} \). Do đó, tổng của các phân số này sẽ lớn hơn tổng của 30 phân số \( \frac{1}{60} \): \[ S > 30 \times \frac{1}{60} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \] - Tiếp theo, ta thấy rằng \( \frac{1}{31} < \frac{1}{30} \), \( \frac{1}{32} < \frac{1}{30} \), ..., \( \frac{1}{59} < \frac{1}{30} \), \( \frac{1}{60} < \frac{1}{30} \). Do đó, tổng của các phân số này sẽ nhỏ hơn tổng của 30 phân số \( \frac{1}{30} \): \[ S < 30 \times \frac{1}{30} = 1 \] Vậy ta có: \[ \frac{1}{2} < S < 1 \] Ta cần chứng minh rằng \( \frac{3}{5} < S < \frac{4}{5} \). Ta thấy rằng: \[ \frac{1}{2} = 0.5 \] \[ \frac{3}{5} = 0.6 \] \[ \frac{4}{5} = 0.8 \] Vì \( 0.5 < S < 1 \), ta có thể kết luận rằng \( \frac{3}{5} < S < \frac{4}{5} \). Đáp số: 1. \( S < 2 \) 2. \( \frac{3}{5} < S < \frac{4}{5} \)