f(x) lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R là gì

Question

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh rằng $ f(x) \geq 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số $ f(x) $. Ta sẽ đi qua từng bước chi tiết như sau:

1. Xác định dạng của hàm số:
   Giả sử $ f(x) = ax^2 + bx + c $ là một hàm bậc hai. Để hàm số này luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi $ x \in \mathbb{R} $, ta cần đảm bảo rằng:
   - Hệ số $ a > 0 $ (đỉnh của parabol hướng lên).
   - Phương trình $ ax^2 + bx + c = 0 $ không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép (discriminant $ \Delta \leq 0 $).

2. Kiểm tra điều kiện $ a > 0 $:
   Nếu $ a > 0 $, parabol sẽ mở ra phía trên, nghĩa là hàm số sẽ có giá trị dương ở hai đầu vô cùng.

3. Kiểm tra điều kiện $ \Delta \leq 0 $:
   Discriminant của phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $ là:
   $$
   \Delta = b^2 - 4ac
   $$
   Để hàm số $ f(x) $ luôn lớn hơn hoặc bằng 0, ta cần:
   $$
   \Delta \leq 0
   $$

4. Tổng hợp điều kiện:
   Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có:
   - $ a > 0 $
   - $ b^2 - 4ac \leq 0 $

Nếu cả hai điều kiện này đều thoả mãn, thì hàm số $ f(x) = ax^2 + bx + c $ sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi $ x \in \mathbb{R} $.

Ví dụ cụ thể:
Giả sử $ f(x) = x^2 + 2x + 1 $:
- $ a = 1 $ (và $ a > 0 $)
- $ b = 2 $
- $ c = 1 $

Ta tính discriminant:
$$
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0
$$

Vì $ \Delta = 0 $, phương trình $ x^2 + 2x + 1 = 0 $ có nghiệm kép $ x = -1 $. Do đó, $ f(x) = (x + 1)^2 \geq 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $.

Kết luận:
Hàm số $ f(x) \geq 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $ nếu và chỉ nếu $ a > 0 $ và $ \Delta \leq 0 $.