Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 10: Để tìm phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A(0;3)\), \(B(-4;0)\), và \(C(-4;3)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn: - Tâm của đường tròn là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác \(ABC\). 2. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\): - Trung điểm của \(AB\) là: \[ M_{AB} = \left( \frac{0 + (-4)}{2}, \frac{3 + 0}{2} \right) = (-2, 1.5) \] - Vector pháp tuyến của đoạn thẳng \(AB\) là: \[ \vec{n}_{AB} = (3, 4) \] - Phương trình đường trung trực của \(AB\) là: \[ 3(x + 2) + 4(y - 1.5) = 0 \implies 3x + 6 + 4y - 6 = 0 \implies 3x + 4y = 0 \] 3. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\): - Trung điểm của \(BC\) là: \[ M_{BC} = \left( \frac{-4 + (-4)}{2}, \frac{0 + 3}{2} \right) = (-4, 1.5) \] - Vector pháp tuyến của đoạn thẳng \(BC\) là: \[ \vec{n}_{BC} = (0, 1) \] - Phương trình đường trung trực của \(BC\) là: \[ y - 1.5 = 0 \implies y = 1.5 \] 4. Tìm giao điểm của hai đường trung trực: - Giao điểm của \(3x + 4y = 0\) và \(y = 1.5\) là: \[ 3x + 4(1.5) = 0 \implies 3x + 6 = 0 \implies x = -2 \] - Vậy tâm của đường tròn là \(O(-2, 1.5)\). 5. Tính bán kính của đường tròn: - Bán kính \(R\) là khoảng cách từ tâm \(O(-2, 1.5)\) đến một trong các điểm \(A\), \(B\), hoặc \(C\). Ta tính khoảng cách từ \(O\) đến \(A(0, 3)\): \[ R = \sqrt{(0 + 2)^2 + (3 - 1.5)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5 \] 6. Viết phương trình đường tròn: - Phương trình đường tròn có tâm \(O(-2, 1.5)\) và bán kính \(R = 2.5\) là: \[ (x + 2)^2 + (y - 1.5)^2 = 2.5^2 \] - Đưa về dạng tổng quát: \[ (x + 2)^2 + (y - 1.5)^2 = 6.25 \implies x^2 + 4x + 4 + y^2 - 3y + 2.25 = 6.25 \implies x^2 + y^2 + 4x - 3y = 0 \] Vậy phương trình đường tròn là: \[ \boxed{x^2 + y^2 + 4x - 3y = 0} \] Câu 11: Để viết phương trình đường tròn (C), ta cần biết bán kính của nó. Ta sẽ sử dụng thông tin rằng tam giác IAB đều và đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A và B. Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d. Phương trình đường thẳng d: \( x - \sqrt{2}y + 4 = 0 \) Tâm I có tọa độ \( (1; \sqrt{2}) \) Khoảng cách từ điểm \( (x_1, y_1) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|1 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 4|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}} = \frac{|1 - 2 + 4|}{\sqrt{1 + 2}} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \] Bước 2: Xác định bán kính của đường tròn (C). Trong tam giác đều, chiều cao hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy chia đôi cạnh đáy và tạo thành hai tam giác vuông cân. Chiều cao này cũng là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d. Chiều cao \( h \) của tam giác đều với cạnh \( a \) là: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] Ở đây, chiều cao \( h \) là \( \sqrt{3} \): \[ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] \[ a = 2 \] Bán kính \( R \) của đường tròn là: \[ R = a = 2 \] Bước 3: Viết phương trình đường tròn (C). Phương trình đường tròn có tâm \( (h, k) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2 \] Thay \( h = 1 \), \( k = \sqrt{2} \), và \( R = 2 \): \[ (x - 1)^2 + (y - \sqrt{2})^2 = 4 \] Vậy phương trình đường tròn (C) là: \[ (x - 1)^2 + (y - \sqrt{2})^2 = 4 \] Câu 12: Để viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: 5x - y - 17 = 0$ tại điểm $M(4;3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d: x - 5y - 5 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn: - Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm $M(4;3)$. Do đó, tâm của đường tròn nằm trên đường vuông góc với $\Delta$ đi qua điểm $M$. - Đường thẳng $\Delta$ có dạng $5x - y - 17 = 0$. Phương trình đường thẳng vuông góc với $\Delta$ đi qua điểm $M(4;3)$ sẽ có dạng $x + 5y + c = 0$ (vì hệ số góc của đường thẳng vuông góc với $\Delta$ là $-\frac{1}{5}$). 2. Tìm tâm của đường tròn: - Thay tọa độ điểm $M(4;3)$ vào phương trình đường thẳng vuông góc: \[ 4 + 5 \cdot 3 + c = 0 \implies 4 + 15 + c = 0 \implies c = -19 \] - Vậy phương trình đường thẳng vuông góc với $\Delta$ đi qua điểm $M$ là: \[ x + 5y - 19 = 0 \] 3. Tìm giao điểm của đường thẳng vuông góc với $\Delta$ và đường thẳng $d$: - Đường thẳng $d$ có phương trình $x - 5y - 5 = 0$. - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 5y - 19 = 0 \\ x - 5y - 5 = 0 \end{cases} \] - Cộng hai phương trình: \[ (x + 5y - 19) + (x - 5y - 5) = 0 \implies 2x - 24 = 0 \implies x = 12 \] - Thay $x = 12$ vào phương trình $x - 5y - 5 = 0$: \[ 12 - 5y - 5 = 0 \implies 7 - 5y = 0 \implies y = \frac{7}{5} \] - Vậy tâm của đường tròn là $I\left(12; \frac{7}{5}\right)$. 4. Tính bán kính của đường tròn: - Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm $I\left(12; \frac{7}{5}\right)$ đến điểm tiếp xúc $M(4;3)$: \[ R = \sqrt{(12 - 4)^2 + \left(\frac{7}{5} - 3\right)^2} = \sqrt{8^2 + \left(\frac{7}{5} - \frac{15}{5}\right)^2} = \sqrt{64 + \left(-\frac{8}{5}\right)^2} = \sqrt{64 + \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{1600}{25} + \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{1664}{25}} = \frac{4\sqrt{104}}{5} \] 5. Viết phương trình đường tròn: - Phương trình đường tròn có tâm $I\left(12; \frac{7}{5}\right)$ và bán kính $R = \frac{4\sqrt{104}}{5}$ là: \[ (x - 12)^2 + \left(y - \frac{7}{5}\right)^2 = \left(\frac{4\sqrt{104}}{5}\right)^2 \] \[ (x - 12)^2 + \left(y - \frac{7}{5}\right)^2 = \frac{16 \cdot 104}{25} = \frac{1664}{25} \] Vậy phương trình đường tròn (C) là: \[ (x - 12)^2 + \left(y - \frac{7}{5}\right)^2 = \frac{1664}{25} \] Câu 13: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ tâm của đường tròn (C). 2. Tính bán kính của đường tròn (C). 3. Viết phương trình đường tròn (C). Bước 1: Tìm tọa độ tâm của đường tròn (C) Gọi tâm của đường tròn (C) là \(I(a, b)\). Vì tâm nằm trên đường thẳng \(d: x - 6y - 10 = 0\), nên ta có: \[ a - 6b - 10 = 0 \quad \text{(1)} \] Vì đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), nên khoảng cách từ tâm \(I(a, b)\) đến mỗi đường thẳng này bằng bán kính \(r\) của đường tròn. Khoảng cách từ điểm \(I(a, b)\) đến đường thẳng \(d_1: 3x + 4y + 5 = 0\) là: \[ r = \frac{|3a + 4b + 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3a + 4b + 5|}{5} \quad \text{(2)} \] Khoảng cách từ điểm \(I(a, b)\) đến đường thẳng \(d_2: 4x - 3y - 5 = 0\) là: \[ r = \frac{|4a - 3b - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4a - 3b - 5|}{5} \quad \text{(3)} \] Từ (2) và (3), ta có: \[ \frac{|3a + 4b + 5|}{5} = \frac{|4a - 3b - 5|}{5} \] \[ |3a + 4b + 5| = |4a - 3b - 5| \] Ta có hai trường hợp: - Trường hợp 1: \(3a + 4b + 5 = 4a - 3b - 5\) \[ 3a + 4b + 5 = 4a - 3b - 5 \] \[ 3a + 4b + 5 - 4a + 3b + 5 = 0 \] \[ -a + 7b + 10 = 0 \quad \text{(4)} \] - Trường hợp 2: \(3a + 4b + 5 = -(4a - 3b - 5)\) \[ 3a + 4b + 5 = -4a + 3b + 5 \] \[ 3a + 4b + 5 + 4a - 3b - 5 = 0 \] \[ 7a + b = 0 \quad \text{(5)} \] Giải hệ phương trình (1) và (4): \[ a - 6b - 10 = 0 \quad \text{(1)} \] \[ -a + 7b + 10 = 0 \quad \text{(4)} \] Cộng hai phương trình: \[ (a - 6b - 10) + (-a + 7b + 10) = 0 \] \[ b = 0 \] Thay \(b = 0\) vào (1): \[ a - 6(0) - 10 = 0 \] \[ a = 10 \] Vậy tâm \(I(10, 0)\). Giải hệ phương trình (1) và (5): \[ a - 6b - 10 = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 7a + b = 0 \quad \text{(5)} \] Từ (5), ta có: \[ b = -7a \] Thay vào (1): \[ a - 6(-7a) - 10 = 0 \] \[ a + 42a - 10 = 0 \] \[ 43a - 10 = 0 \] \[ a = \frac{10}{43} \] Thay \(a = \frac{10}{43}\) vào \(b = -7a\): \[ b = -7 \left(\frac{10}{43}\right) = -\frac{70}{43} \] Vì \(b\) phải là số không âm, nên ta loại trường hợp này. Vậy tâm của đường tròn là \(I(10, 0)\). Bước 2: Tính bán kính của đường tròn (C) Khoảng cách từ tâm \(I(10, 0)\) đến đường thẳng \(d_1: 3x + 4y + 5 = 0\) là: \[ r = \frac{|3(10) + 4(0) + 5|}{5} = \frac{|30 + 5|}{5} = \frac{35}{5} = 7 \] Bước 3: Viết phương trình đường tròn (C) Phương trình đường tròn có tâm \(I(10, 0)\) và bán kính \(r = 7\) là: \[ (x - 10)^2 + y^2 = 49 \] Đáp số: \((x - 10)^2 + y^2 = 49\) Câu 14: Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):~(x-1)^2+(y+2)^2=25$ tại điểm $M(5;1)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn: - Tâm của đường tròn $(C)$ là $I(1;-2)$. - Bán kính của đường tròn là $r = 5$. 2. Tính vectơ $\overrightarrow{IM}$: - Tọa độ của điểm $M$ là $(5;1)$. - Vectơ $\overrightarrow{IM} = (5-1; 1-(-2)) = (4; 3)$. 3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M$: - Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M(x_1, y_1)$ có dạng: \[ (x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2 \] Trong đó, $(a, b)$ là tọa độ tâm của đường tròn và $r$ là bán kính. - Thay các giá trị vào phương trình: \[ (5 - 1)(x - 1) + (1 + 2)(y + 2) = 25 \] \[ 4(x - 1) + 3(y + 2) = 25 \] \[ 4x - 4 + 3y + 6 = 25 \] \[ 4x + 3y + 2 = 25 \] \[ 4x + 3y - 23 = 0 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $M(5;1)$ là $4x + 3y - 23 = 0$. Đáp án đúng là: A. $4x + 3y - 23 = 0$. Câu 15: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng tiếp tuyến của đường tròn $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$ mà song song với đường thẳng $3x - 4y + 2 = 0$. Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn. - Đường tròn có tâm $I(2, -3)$ và bán kính $R = 4$. Bước 2: Xác định phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng $3x - 4y + 2 = 0$. - Tiếp tuyến song song với đường thẳng $3x - 4y + 2 = 0$ sẽ có dạng $3x - 4y + c = 0$, trong đó $c$ là hằng số cần tìm. Bước 3: Xác định khoảng cách từ tâm đường tròn đến tiếp tuyến. - Khoảng cách từ điểm $(x_1, y_1)$ đến đường thẳng $Ax + By + C = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Áp dụng công thức này để tìm khoảng cách từ tâm $I(2, -3)$ đến đường thẳng $3x - 4y + c = 0$: \[ d = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot (-3) + c|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 12 + c|}{5} = \frac{|18 + c|}{5} \] Bước 4: Điều kiện để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. - Để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, khoảng cách từ tâm đến đường thẳng phải bằng bán kính của đường tròn: \[ \frac{|18 + c|}{5} = 4 \] \[ |18 + c| = 20 \] Bước 5: Giải phương trình để tìm giá trị của $c$. - Ta có hai trường hợp: \[ 18 + c = 20 \quad \text{hoặc} \quad 18 + c = -20 \] \[ c = 2 \quad \text{hoặc} \quad c = -38 \] Vậy, có hai giá trị của $c$ thỏa mãn điều kiện, tương ứng với hai tiếp tuyến song song với đường thẳng $3x - 4y + 2 = 0$. Kết luận: Có 2 tiếp tuyến của đường tròn $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$ mà song song với đường thẳng $3x - 4y + 2 = 0$. Đáp án đúng là: A. 2.