nsjnwhxjnskskx dhbdn Câu 11: Biết rằng $\int^2_1(3x^2+\sqrt x)dx=\frac{a+b\sqrt2}3$ với a,b là các số nguyên. Tính giá trị của $a-b?$

Question

Accepted Answer

Câu 11:
Để tính giá trị của $a - b$ trong biểu thức $\int^2_1(3x^2 + \sqrt{x}) \, dx = \frac{a + b\sqrt{2}}{3}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính tích phân $\int^2_1(3x^2 + \sqrt{x}) \, dx$.

$$
\int^2_1(3x^2 + \sqrt{x}) \, dx = \int^2_1 3x^2 \, dx + \int^2_1 \sqrt{x} \, dx
$$

Bước 2: Tính từng phần tích phân riêng lẻ.

$$
\int^2_1 3x^2 \, dx = 3 \int^2_1 x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^2_1 = [x^3]^2_1 = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7
$$

$$
\int^2_1 \sqrt{x} \, dx = \int^2_1 x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]^2_1 = \frac{2}{3} \left( 2^{3/2} - 1^{3/2} \right) = \frac{2}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}
$$

Bước 3: Cộng hai kết quả lại.

$$
\int^2_1(3x^2 + \sqrt{x}) \, dx = 7 + \frac{4\sqrt{2} - 2}{3} = \frac{21}{3} + \frac{4\sqrt{2} - 2}{3} = \frac{21 + 4\sqrt{2} - 2}{3} = \frac{19 + 4\sqrt{2}}{3}
$$

Bước 4: So sánh với biểu thức đã cho để tìm $a$ và $b$.

$$
\frac{19 + 4\sqrt{2}}{3} = \frac{a + b\sqrt{2}}{3}
$$

Từ đó suy ra:

$$
a = 19 \quad \text{và} \quad b = 4
$$

Bước 5: Tính giá trị của $a - b$.

$$
a - b = 19 - 4 = 15
$$

Vậy giá trị của $a - b$ là 15.