??????????

Câu 11: Phương trình của đường thẳng $\Delta:~7x-10y-9=0$ có dạng tổng quát là $Ax + By + C = 0$, trong đó $A = 7$, $B = -10$, và $C = -9$. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là $\overrightarrow{n} = (A, B) = (7, -10)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{n} = (7, -10)$. Câu 12: Để tìm tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm \(M(x_1, y_1)\) và \(N(x_2, y_2)\): \[ I \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Trong đó: - \(M(4, 3)\) có \(x_1 = 4\) và \(y_1 = 3\) - \(N(-6, 1)\) có \(x_2 = -6\) và \(y_2 = 1\) Áp dụng công thức: \[ I \left( \frac{4 + (-6)}{2}, \frac{3 + 1}{2} \right) \] Tính từng thành phần: \[ \frac{4 + (-6)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Vậy tọa độ trung điểm \(I\) là: \[ I(-1, 2) \] Do đó, đáp án đúng là: A. \((-1, 2)\). Câu 1: a) Mệnh đề này sai vì có $A^8_{32}$ cách sắp xếp 8 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên, không phải là $C^8_{32}$. b) Mệnh đề này sai vì sau khi sắp xếp xong hàng ghế đầu tiên, có $A^8_{24}$ cách sắp xếp 8 bạn ngồi vào hàng ghế thứ hai, không phải là $C^8_{24}$. c) Mệnh đề này đúng vì sau khi sắp xếp xong hàng ghế thứ hai, có $A^8_{16}$ cách sắp xếp 8 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba. d) Mệnh đề này đúng vì sau khi sắp xếp xong hàng ghế thứ ba, có 8! cách sắp xếp các bạn còn lại ngồi vào hàng ghế cuối cùng. Câu 2: a) Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: - Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB được tính bằng công thức: \[ I = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \] - Thay tọa độ của A và B vào công thức: \[ I = \left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{8}{2} \right) = (1, 4) \] b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: - Tọa độ trọng tâm của tam giác được tính bằng công thức: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) \] - Thay tọa độ của A, B và C vào công thức: \[ G = \left( \frac{-2 + 4 + 2}{3}, \frac{3 + 5 - 3}{3} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{5}{3} \right) \] c) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$: - Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng cách lấy tọa độ của B trừ tọa độ của A: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \] - Thay tọa độ của A và B vào công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (4 - (-2), 5 - 3) = (4 + 2, 2) = (6, 2) \] d) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$: - Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BC}$ được tính bằng cách lấy tọa độ của C trừ tọa độ của B: \[ \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) \] - Thay tọa độ của B và C vào công thức: \[ \overrightarrow{BC} = (2 - 4, -3 - 5) = (-2, -8) \] - Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = x_{AB} \cdot x_{BC} + y_{AB} \cdot y_{BC} \] - Thay tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ vào công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 6 \cdot (-2) + 2 \cdot (-8) = -12 - 16 = -28 \] Đáp số: a) Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: $(1, 4)$ b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: $\left( \frac{4}{3}, \frac{5}{3} \right)$ c) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $(6, 2)$ d) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là: $-28$ Câu 1: Chỉnh hợp chập 3 của 7 được tính bằng công thức sau: \[ A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} \] Trước tiên, ta tính giai thừa của 7 và 4: \[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \] \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Bây giờ, ta thực hiện phép chia: \[ A_7^3 = \frac{5040}{24} = 210 \] Vậy chỉnh hợp chập 3 của 7 là 210. Đáp số: 210 Câu 2: Để tìm hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (x-2)^4 \), ta sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = x \), \( b = -2 \), và \( n = 4 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^3 \), tức là \( k = 1 \). Áp dụng công thức nhị thức Newton: \[ (x - 2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} (-2)^k \] Ta quan tâm đến hạng tử có \( x^3 \), tức là \( 4 - k = 3 \), suy ra \( k = 1 \). Hạng tử này là: \[ \binom{4}{1} x^{4-1} (-2)^1 = \binom{4}{1} x^3 (-2) \] Tính toán tiếp: \[ \binom{4}{1} = 4 \] \[ (-2)^1 = -2 \] Vậy hệ số của \( x^3 \) là: \[ 4 \times (-2) = -8 \] Đáp số: Hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (x-2)^4 \) là \(-8\). Câu 3: Để tìm độ dài của đoạn thẳng AB, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ. Công thức khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \) là: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Áp dụng công thức này cho các điểm \( A(4, 2) \) và \( B(6, 2) \): - \( x_1 = 4 \) - \( y_1 = 2 \) - \( x_2 = 6 \) - \( y_2 = 2 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ AB = \sqrt{(6 - 4)^2 + (2 - 2)^2} \] \[ AB = \sqrt{2^2 + 0^2} \] \[ AB = \sqrt{4 + 0} \] \[ AB = \sqrt{4} \] \[ AB = 2 \] Vậy độ dài của đoạn thẳng AB là 2. Câu 4: Để đi từ tỉnh A đến tỉnh C, ta phải đi qua tỉnh B. Ta sẽ tính số cách chọn phương tiện di chuyển từ A đến B và từ B đến C, sau đó nhân hai kết quả này lại với nhau. 1. Số cách chọn phương tiện di chuyển từ A đến B: - Ô tô - Tàu hỏa - Tàu thủy - Máy bay - Xe máy Có 5 cách chọn phương tiện di chuyển từ A đến B. 2. Số cách chọn phương tiện di chuyển từ B đến C: - Ô tô - Tàu hỏa Có 2 cách chọn phương tiện di chuyển từ B đến C. 3. Tổng số cách chọn phương tiện di chuyển từ A đến C: Ta nhân số cách chọn phương tiện từ A đến B với số cách chọn phương tiện từ B đến C. Số cách chọn phương tiện từ A đến C là: \[ 5 \times 2 = 10 \] Vậy có 10 cách chọn phương tiện di chuyển để có thể đi từ tỉnh A đến tỉnh C. Đáp số: 10 cách.