Giúp mình với!

Câu 9: Để tính $P = \int_{a}^{b} [2f(x) + 3g(x)] \, dx$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Bước 1: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân: \[ P = \int_{a}^{b} [2f(x) + 3g(x)] \, dx = 2 \int_{a}^{b} f(x) \, dx + 3 \int_{a}^{b} g(x) \, dx \] Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = -3 \] \[ \int_{a}^{b} g(x) \, dx = 7 \] Bước 3: Thực hiện phép tính: \[ P = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 7 \] \[ P = -6 + 21 \] \[ P = 15 \] Vậy đáp án đúng là: D. $P = 15$. Câu 10: Để tìm một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; -1; 2)$ và $\overrightarrow{v} = (0; 2; -3)$, ta thực hiện phép nhân vectơ (còn gọi là tích vectơ) giữa hai vectơ chỉ phương này. Phép nhân vectơ giữa $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-3) - (2)(2)) - \mathbf{j}((1)(-3) - (2)(0)) + \mathbf{k}((1)(2) - (-1)(0)) \] \[ = \mathbf{i}(3 - 4) - \mathbf{j}(-3 - 0) + \mathbf{k}(2 - 0) \] \[ = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(2) \] \[ = -\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \] Do đó, vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (P) là: \[ \overrightarrow{n} = (-1; 3; 2) \] Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{n} = (-1; 3; 2)$. Câu 11: Để xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ trong không gian Oxyz, ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, trùng nhau hoặc cắt nhau. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \[ x - 2y + 3z = 0 \] Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình: \[ -x + 2y - 3z + 1 = 0 \] Ta thấy rằng phương trình của $(Q)$ có thể viết lại thành: \[ -x + 2y - 3z = -1 \] \[ x - 2y + 3z = 1 \] So sánh phương trình của $(P)$ và $(Q)$: - Phương trình của $(P)$ là: \( x - 2y + 3z = 0 \) - Phương trình của $(Q)$ là: \( x - 2y + 3z = 1 \) Nhận thấy rằng cả hai phương trình đều có cùng các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) nhưng hằng số ở vế phải khác nhau (0 và 1). Điều này cho thấy hai mặt phẳng này song song với nhau vì chúng có cùng hướng pháp tuyến nhưng không trùng nhau. Do đó, khẳng định đúng là: B. (P) song song với (Q). Đáp án: B. (P) song song với (Q). Câu 12: Để tính khoảng cách từ điểm \( A(1;2;3) \) đến mặt phẳng \( (P): 3y - 4z + 5 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d(M, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( a = 0 \) - \( b = 3 \) - \( c = -4 \) - \( d = 5 \) - \( x_0 = 1 \) - \( y_0 = 2 \) - \( z_0 = 3 \) Áp dụng vào công thức: \[ d(A, (P)) = \frac{|0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 + 5|}{\sqrt{0^2 + 3^2 + (-4)^2}} \] \[ d(A, (P)) = \frac{|0 + 6 - 12 + 5|}{\sqrt{0 + 9 + 16}} \] \[ d(A, (P)) = \frac{|-1|}{\sqrt{25}} \] \[ d(A, (P)) = \frac{1}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (P) \) là: \[ d(A, (P)) = \frac{1}{5} \] Đáp án đúng là: C. \( d(A, (P)) = \frac{1}{5} \)