Giải chính xác

Câu 10: Để vận động viên bắn trúng hồng tâm, điểm A phải nằm trên đường thẳng d. Ta sẽ thay tọa độ của điểm A vào phương trình của đường thẳng d để tìm giá trị của m. Phương trình của đường thẳng d là: \[ \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-3}{-5} \] Thay tọa độ của điểm A(8, -19, 6m + 4) vào phương trình này: \[ \frac{8-1}{1} = \frac{-19-2}{-3} = \frac{6m+4-3}{-5} \] Tính từng phần: \[ \frac{7}{1} = 7 \] \[ \frac{-21}{-3} = 7 \] \[ \frac{6m+1}{-5} = 7 \] Bây giờ ta giải phương trình: \[ \frac{6m+1}{-5} = 7 \] Nhân cả hai vế với -5: \[ 6m + 1 = -35 \] Trừ 1 từ cả hai vế: \[ 6m = -36 \] Chia cả hai vế cho 6: \[ m = -6 \] Vậy giá trị của m là -6. Đáp án đúng là: B. \( m = -6 \) Câu 11: Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(10;3;0) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{a} = (2; -2; 1) \) được viết dưới dạng tham số như sau: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 10 + 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 0 + t \end{array} \right., \quad t \in \mathbb{R} \] Do đó, phương án đúng là: D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 10 + 2t \\ y = 3 - 2t, \quad t \in \mathbb{R} \\ z = t \end{array} \right.\) Đáp án: D. Câu 12: Để xác định điểm nào thuộc mặt cầu, ta cần kiểm tra khoảng cách từ mỗi điểm đến tâm của mặt cầu. Nếu khoảng cách này bằng bán kính của mặt cầu thì điểm đó thuộc mặt cầu. Tâm của mặt cầu là \( I(3; -3; 1) \) và bán kính là 2 km. Ta sẽ tính khoảng cách từ mỗi điểm đến tâm \( I \): 1. Kiểm tra điểm \( A(-4; 0; 2) \): \[ IA = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (-3 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(3 + 4)^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 9 + 1} = \sqrt{59} \] \( IA \neq 2 \), nên điểm \( A \) không thuộc mặt cầu. 2. Kiểm tra điểm \( B(5; -2; 1) \): \[ IB = \sqrt{(3 - 5)^2 + (-3 - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5} \] \( IB \neq 2 \), nên điểm \( B \) không thuộc mặt cầu. 3. Kiểm tra điểm \( C(-6; 2; 2) \): \[ IC = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (-3 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(3 + 6)^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{81 + 25 + 1} = \sqrt{107} \] \( IC \neq 2 \), nên điểm \( C \) không thuộc mặt cầu. 4. Kiểm tra điểm \( D(0; -1; 4) \): \[ ID = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-3 - (-1))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22} \] \( ID \neq 2 \), nên điểm \( D \) không thuộc mặt cầu. Như vậy, không có điểm nào trong các điểm đã cho thuộc mặt cầu. Câu 1: a) Tọa độ véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (2; -2; 1)$. b) Để kiểm tra điểm $B(-1; 1; 1)$ có thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: \[ 2(-1) - 2(1) + 1 + 3 = -2 - 2 + 1 + 3 = 0 \] Vì kết quả bằng 0, nên điểm $B$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. c) Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ được tính bằng công thức: \[ d(B, (\alpha)) = \frac{|ax_B + by_B + cz_B + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Ở đây, $a = 2$, $b = -2$, $c = 1$, $d = 3$, và tọa độ của điểm $B$ là $(-1, 1, 1)$. Thay vào công thức: \[ d(B, (\alpha)) = \frac{|2(-1) - 2(1) + 1(1) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-2 - 2 + 1 + 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|0|}{\sqrt{9}} = 0 \] d) Phương trình mặt cầu tâm $B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: \[ (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 + (z - z_B)^2 = r^2 \] Trong đó, tâm mặt cầu là $B(-1, 1, 1)$ và bán kính $r$ bằng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng $(\alpha)$. Ta đã tính ở phần c) rằng khoảng cách này bằng 0, do đó phương trình mặt cầu là: \[ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 0 \] Tuy nhiên, vì khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng bằng 0, mặt cầu này coi như là một điểm, tức là tâm của nó. Do đó, phương trình mặt cầu đúng là: \[ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 0 \] Đáp số: a) Tọa độ véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (2; -2; 1)$. b) Điểm $B(-1; 1; 1)$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. c) Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ là 0. d) Phương trình mặt cầu tâm $B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha)$ là $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 0$. Câu 2: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt tính các tích phân theo yêu cầu. a) Tính $\int f(x) \, dx$ Hàm số đã cho là $f(x) = 3x^2 - 4$. Ta cần tìm nguyên hàm của $f(x)$: \[ \int f(x) \, dx = \int (3x^2 - 4) \, dx \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] \[ \int -4 \, dx = -4x \] Vậy: \[ \int f(x) \, dx = x^3 - 4x + C \] Đáp án đúng là: \[ \int f(x) \, dx = x^3 - 4x + C \] b) Tính $\int^2_1 f(x) \, dx$ Ta cần tính tích phân từ 1 đến 2 của hàm số $f(x) = 3x^2 - 4$: \[ \int^2_1 f(x) \, dx = \left[ x^3 - 4x \right]^2_1 \] Thay cận vào: \[ \left[ x^3 - 4x \right]^2_1 = (2^3 - 4 \cdot 2) - (1^3 - 4 \cdot 1) \] \[ = (8 - 8) - (1 - 4) \] \[ = 0 - (-3) = 3 \] Đáp án đúng là: \[ \int^2_1 f(x) \, dx = 3 \] c) Tính $\int^3_2 f(x) \, dx$ Ta cần tính tích phân từ 2 đến 3 của hàm số $f(x) = 3x^2 - 4$: \[ \int^3_2 f(x) \, dx = \left[ x^3 - 4x \right]^3_2 \] Thay cận vào: \[ \left[ x^3 - 4x \right]^3_2 = (3^3 - 4 \cdot 3) - (2^3 - 4 \cdot 2) \] \[ = (27 - 12) - (8 - 8) \] \[ = 15 - 0 = 15 \] Đáp án đúng là: \[ \int^3_2 f(x) \, dx = 15 \] d) Tính $P = \int^3_{-1} [3f(x) - 2] \, dx$ Ta cần tính tích phân từ -1 đến 3 của biểu thức $3f(x) - 2$: \[ P = \int^3_{-1} [3(3x^2 - 4) - 2] \, dx \] \[ = \int^3_{-1} (9x^2 - 12 - 2) \, dx \] \[ = \int^3_{-1} (9x^2 - 14) \, dx \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int 9x^2 \, dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3 \] \[ \int -14 \, dx = -14x \] Vậy: \[ \int (9x^2 - 14) \, dx = 3x^3 - 14x + C \] Tính tích phân từ -1 đến 3: \[ P = \left[ 3x^3 - 14x \right]^3_{-1} \] Thay cận vào: \[ \left[ 3x^3 - 14x \right]^3_{-1} = (3 \cdot 3^3 - 14 \cdot 3) - (3 \cdot (-1)^3 - 14 \cdot (-1)) \] \[ = (3 \cdot 27 - 42) - (3 \cdot (-1) + 14) \] \[ = (81 - 42) - (-3 + 14) \] \[ = 39 - 11 = 28 \] Đáp án đúng là: \[ P = 28 \] Kết luận Các đáp án đúng là: a) $\int f(x) \, dx = x^3 - 4x + C$ b) $\int^2_1 f(x) \, dx = 3$ c) $\int^3_2 f(x) \, dx = 15$ d) $P = 28$ Câu 3: a) Ta có: $\int f(x)dx = \int \frac{1}{2x-1} dx$ Để tính nguyên hàm này, ta sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt $u = 2x - 1$, suy ra $du = 2dx$ hoặc $dx = \frac{1}{2} du$. Do đó: $\int \frac{1}{2x-1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x-1| + C$ Vậy khẳng định a) là sai vì $\int f(x)dx = \frac{1}{2} \ln |2x-1| + C$ chứ không phải $\ln |2x-1| + C$. b) Ta có: $F(x) = \frac{1}{2x-1}$ Để kiểm tra $F(x)$ có phải là nguyên hàm của $f(x)$ hay không, ta tính đạo hàm của $F(x)$: $F'(x) = \left( \frac{1}{2x-1} \right)' = -\frac{2}{(2x-1)^2}$ Ta thấy rằng $F'(x) \neq f(x)$, do đó $F(x)$ không phải là nguyên hàm của $f(x)$. Kết luận: a) Khẳng định sai. b) Khẳng định sai.