Dosssssssssss

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit và các phép toán liên quan đến logarit. Phần a) Ta cần tính $\log_a \left( \frac{a \sqrt{a}}{b \sqrt[3]{b}} \right)$. Bước 1: Áp dụng tính chất logarit $\log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y$: \[ \log_a \left( \frac{a \sqrt{a}}{b \sqrt[3]{b}} \right) = \log_a (a \sqrt{a}) - \log_a (b \sqrt[3]{b}) \] Bước 2: Áp dụng tính chất logarit $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$: \[ \log_a (a \sqrt{a}) = \log_a a + \log_a \sqrt{a} \] \[ \log_a (b \sqrt[3]{b}) = \log_a b + \log_a \sqrt[3]{b} \] Bước 3: Áp dụng tính chất logarit $\log_a (x^n) = n \log_a x$: \[ \log_a \sqrt{a} = \log_a (a^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_a a \] \[ \log_a \sqrt[3]{b} = \log_a (b^{1/3}) = \frac{1}{3} \log_a b \] Bước 4: Thay vào các biểu thức trên: \[ \log_a (a \sqrt{a}) = \log_a a + \frac{1}{2} \log_a a = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] \[ \log_a (b \sqrt[3]{b}) = \log_a b + \frac{1}{3} \log_a b = 2 + \frac{1}{3} \cdot 2 = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \] Bước 5: Kết hợp lại: \[ \log_a \left( \frac{a \sqrt{a}}{b \sqrt[3]{b}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{8}{3} = \frac{9}{6} - \frac{16}{6} = -\frac{7}{6} \] Phần b) Ta cần tính $\log_a (2b) + \log_a \left( \frac{b^2}{2} \right)$. Bước 1: Áp dụng tính chất logarit $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$: \[ \log_a (2b) = \log_a 2 + \log_a b \] \[ \log_a \left( \frac{b^2}{2} \right) = \log_a (b^2) - \log_a 2 \] Bước 2: Áp dụng tính chất logarit $\log_a (x^n) = n \log_a x$: \[ \log_a (b^2) = 2 \log_a b \] Bước 3: Thay vào các biểu thức trên: \[ \log_a (2b) = \log_a 2 + 2 \] \[ \log_a \left( \frac{b^2}{2} \right) = 2 \cdot 2 - \log_a 2 = 4 - \log_a 2 \] Bước 4: Kết hợp lại: \[ \log_a (2b) + \log_a \left( \frac{b^2}{2} \right) = (\log_a 2 + 2) + (4 - \log_a 2) = 2 + 4 = 6 \] Đáp số: a) $-\frac{7}{6}$ b) $6$ Câu 2: a) Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AC$ và $SA\perp AB$. Do đó góc giữa đường thẳng SA và BC là góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $SC$, tức là $\widehat{ASC}$. Ta có $tan\widehat{ASC}=\frac{AC}{SA}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Suy ra $\widehat{ASC}=30^o$. Vậy góc giữa đường thẳng SA và BC là $30^o$. b) Gọi H là trung điểm của AC, ta có $SH\perp AC$ (đường cao trong tam giác đều). Mà $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AH$. Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc giữa hai đường thẳng $SH$ và $AC$, tức là $\widehat{SHA}$. Ta có $tan\widehat{SHA}=\frac{AH}{SH}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Suy ra $\widehat{SHA}=30^o$. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là $30^o$. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm biên độ rung chấn của trận động đất ở San Francisco: - Biết rằng cường độ của trận động đất ở San Francisco là 8 độ Richter, ta có: \[ M_{\text{San Francisco}} = \log A_{\text{San Francisco}} - \log A_0 = 8 \] - Điều này có nghĩa là: \[ \log \left( \frac{A_{\text{San Francisco}}}{A_0} \right) = 8 \] - Do đó: \[ \frac{A_{\text{San Francisco}}}{A_0} = 10^8 \] - Vậy: \[ A_{\text{San Francisco}} = 10^8 \cdot A_0 \] 2. Tìm biên độ rung chấn của trận động đất ở Nam Mỹ: - Biết rằng biên độ rung chấn của trận động đất ở Nam Mỹ mạnh hơn gấp 4 lần so với trận động đất ở San Francisco, ta có: \[ A_{\text{Nam Mỹ}} = 4 \cdot A_{\text{San Francisco}} \] - Thay giá trị của \( A_{\text{San Francisco}} \): \[ A_{\text{Nam Mỹ}} = 4 \cdot (10^8 \cdot A_0) = 4 \cdot 10^8 \cdot A_0 \] 3. Tính cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ: - Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ được tính bằng công thức: \[ M_{\text{Nam Mỹ}} = \log A_{\text{Nam Mỹ}} - \log A_0 \] - Thay giá trị của \( A_{\text{Nam Mỹ}} \): \[ M_{\text{Nam Mỹ}} = \log (4 \cdot 10^8 \cdot A_0) - \log A_0 \] - Áp dụng tính chất của logarit: \[ M_{\text{Nam Mỹ}} = \log 4 + \log 10^8 + \log A_0 - \log A_0 \] - Điều này giản ước thành: \[ M_{\text{Nam Mỹ}} = \log 4 + 8 \] - Biết rằng \( \log 4 \approx 0.602 \): \[ M_{\text{Nam Mỹ}} \approx 0.602 + 8 = 8.602 \] 4. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: - Làm tròn \( 8.602 \) đến hàng phần chục, ta được: \[ M_{\text{Nam Mỹ}} \approx 8.6 \] Vậy cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là khoảng 8.6 độ Richter.